直升机动力学基础(无限自由度系统-2011-11)

无限自由度系统的振动——弹性梁的弯曲振动1.概述(2)如果梁各截面的中心主轴在同一平面内，外载荷也作用于该平面内，则梁的主要变形是弯曲变形，梁在该平面内的横向振动称作弯曲振动。(3)对于细长梁的低频振动，可以忽略梁的剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响，这种梁模型称为Bernoulli-Euler梁。计及这两种因素的梁模型称为Timoshenko梁。本节只讨论Bernoulli-Euler梁的弯曲振动。(1)以弯曲为主要变形的杆件称为梁.2.振动微分方程wfx,tmQMQ+M+A()wxdxxl)(x,twwxQfxdxdxdxdxt22MOO)mx,t(xx设有长度为l的直梁，取其轴线作为x轴，建立图示的坐标系。今后只要不另行说明，x轴原点均取在梁的左端点。记梁在x处的横截面积为A(x)，材料弹性模量为E(x)，密度为(x)，截面关于中性轴的惯性矩为I(x)。用w(x,t)表示坐标为x的截面中性轴在时刻t的横向位移，f(x,t)和m(x,t)分别表示单位长度梁上分布的横向外力和外力矩。()()(,)xAxxwxttd22取长为dx的微段作为分离体，其受力分析如图示。其中Q(x,t)和M(x,t)分别是截面上的剪力和弯矩，梁微段的惯性力为wfx,tmQMQ+M+A()wxdxxl)(x,twwxQfxdxdxdxdxt22MOO)mx,t(xx单元体受力分析:xxtxQtxfxtxfxxtxQtxQtxQttxwxxAx]d),(),([d),(]d),(),([),(),(d)()(22图中所有力和力矩均按正方向画出xtxmxxtxMtxMxtxQtxMd),(d),(),(d),(),(根据Newton第二定律，梁微段的横向运动满足忽略截面绕中性轴的转动惯量2222(,)(,)(,)()()(,)[]wxtMxtmxtxAxfxttxx222222(,)(,)(,)()()[()()](,)wxtwxtmxtxAxExIxfxttxxxBernoulli-Euler梁的弯曲振动微分方程:QxtMxtxmxt(,)(,)(,)22(,)(,)()()(,)wxtQxtxAxfxttxMxtExIxwxtx(,)()()(,)22AwxttEIwxtxfxtxmxt2244(,)(,)(,)(,)对于均匀材料等截面直梁:为常数()()xAxExIx()()xtxmtxfxtxwxIxExttxwxAx),(),(]),()()([),()()(222222主要讨论均匀材料等截面直梁的振动2.1自由振动（1）固有振动的形式AwxttEIwxtx22440(,)(,)wxtWxqt(,)()()AWxqtEIWxqt()()()()()40)()()()()4(tqtqxWxWAEI两端必同时等于一常数。可以证明，该常数非负.2)4()()()()(tqtqxWxWAEI分离变量法:sxaexW)(jss4,32,1,044sWxWxqtqt()()()()()4420042defAEI其中4,3,2,1)(ieaxWxsiiiWxaxaxaxaxqtbtbt()cossin()cossin123412chsh2cos;2sinxjxjxjxjeexjeex描述了梁横向振动幅值沿梁长的分布，并含有待定的固有频率。梁横向振动幅值在梁的两端必须满足给定的边界条件，由此可确定及其比值。2)cosh(;2)sinh(xxxxeexeexWxaxaxaxaxqtbtbt()cossin()cossin123412chsh描述了梁振动随时间简谐变化，常数由梁的初始条件来确定。12bb、)(xW)(tqia、（2）固有振动的确定简单边界条件---固定、铰支、自由.a.将限制挠度、转角的边界条件称作几何边界条件;b.将限制弯矩、剪力的边界条件称作动力边界条件。wxwx固定边界条件：固定端挠度转角0w0xw00WW铰支边界条件：022xwEIM00WW铰支端处挠度0w弯矩自由边界条件：022xwEIM033xwEIQ00WW自由端上弯矩剪力wxtWxqt(,)()()例1.确定两端铰支均匀材料等截面直梁的固有频率和固有振型。WW(),()0000WlWl(),()00aaaa131300,xaxaxaxaxWshchsincos)(4321aa1300shsin0shsin4242lalalalaalal2400sin,sh因铰支梁不会产生刚体运动，故l0sin,,laa00024解：铰支梁两端的边界条件分别为2)sinh(lleelwx固有频率方程：rrlr,,,120sinl,2,1,)(422rAlEIrAEIrr固有频率：固有振型函数：,2,1,sin)(rlxrxWr设在空中飞行的火箭可简化为一根自由-自由梁，其边界条件为0)(0)(0)0(0)0()3()2()3()2(lWlshchsincos)(4321由x=0的边界条件可得42aa0)()(4)4(xWxW振型的微分方程：342)(0aa)(0312aa31aa由x=l的边界条件可得24321)shchsincos(0lalalala34321)chshcossin(0lalalala0)cosch()sinsh()sinsh()cosch(21aallllllll0)cosch()sinsh(21llalla0)sinsh()cosch(21llalla0)(sin)sh()cosch(222llll1coschll1)(sin)(cos;1)sh()ch(2222llll特征方程279.17137.14996.10853.7730.40.0543210llllll前6个特征值为：零特征值对应于两个刚体运动模态：横向平移和俯仰运动)21(klk0000SxxxTxxxUxxxVxxxdefdefdefdef()(cos),()(sin)()(cos),()(sin)12121212chshchshSTUV(),(),(),()0100023WxcSxcTxcUxcVx()()()()()1234xaxaxaxaxWshchsincos)(4321Krylov函数的导数按次序循环，每一函数的导数都由它前面一个函数表示.STUVKrylov函数例2.确定均匀材料等截面悬臂梁的固有频率和固有振型.解：悬臂梁的边界条件为0)0(,0)0(WW0)(,0)(lWlWWxcSxcTxcUxcVx()()()()()1234cc120cSlcTlcVlcSl343400()()()()梁的运动要求常数和不能同时为零c3c4det()()()()SlTlVlSl0chllcos1固有频率方程wx该方程的根可由图解法大致确定后再用MATLAB精确化，其由小到大依次为rl187514694178548109955141372.,.,.,.,.,固有频率:,2,1,)(422rAlEIlAEIrrr固有振型函数:,2,1)],()([)()()(343rxVxUcxVcxUcxWrrrrrr,2,1,)()()()(34rlSlVlTlSccrrrrr固有振型函数可取为:,2,1),()()()()(rxVlTlSxUxWrrrrrsinsin2sin3xxx不同边界条件下梁的固有振型不同边界条件下梁的固有振型如果把对应零固有频率的刚体运动振型包括在内，简单边界条件下梁的第阶固有振型均有个节点。rr1sinsin2sin3xxx00WW00WW00WW固定边界条件：铰支边界条件：自由边界条件：（3）固有振型的正交性rrrWxWx44()()()lrsrslrsllrslrsrxxWxWxWxWxWxWxxWxWxxWxW0000)4(04d)()()()()()(d)()(d)()(简单边界（固定端、铰支端、自由端）条件等式右端前两项总为零.WxWxxWxWxxrsrrsll()()()()dd400llrssrsxxWxWxxWxW004d)()(d)()(()()()rsrslWxWxx4400dWxWxxrsrsl()()d00WxWxxrsrsl()()d00WxWxxWxWxxrsrrsll()()()()dd400llrssrsxxWxWxxWxW004d)()(d)()(除了两端自由梁的两个零固有频率rsrs均匀材料等截面直梁的固有振型正交性条件:()()()()()()()()xAxWxWxxMExIxWxWxxKrsrrslrsrrsldd00非均匀材料、不等截面的直梁，固有振型的正交性条件:,2,1,/2rMKrrr它们的大小取决于如何对固有振型函数归一化，但其比值总满足:当时，定义梁的第r阶模态质量和模态刚度为rsxxAWMlrdefrd)(02,2,1,d)]([02rxxWEIKlrdefr24)/(rrEIA（4）自由振动当梁的固有频率和固有振型函数确定后，根据线性系统的叠加原理，其自由振动是各阶固有振动的线性组合:梁弯曲振动的初始条件是初瞬时梁上各点的挠度及速度，即wxtWxbtbtrrrrrr(,)()(cossin)121br1br2wxwxwxtvx(,)(),(,)()0000其中常数和由初始条件确定。例3.试求两端铰支的均匀材料等截面直梁在下列两种扰动下的自由振动。wxxlwxt(,)sin,(,)000b.梁在初瞬时处于平衡状态，在处的微段内受脉冲力作用，引起在处的初速度为。xaxav0a.解：铰支梁的固有频率及固有振型函数为rrrEIAlWxrxlr(),()sin,,,2412a.wxtWxbtbtrrrrrr(,)()(cossin)121brxlxlbrxlrrrrr11210sinsin,sinbbrbrrr11121023012,,,,,,,梁弯曲自由振动:wxtxlt(,)sincos1这说明:若初始条件与梁的第一阶固有振型成比例，响应中仅含第一阶固有振动.brxlrr110sinb.0)0,(xwbrr1012,,,wxtbrxlrrr(,)sin021梁的弯曲自由振动:10sin]sinsin1[2),(rrrtlxrlarlvtxw,2,1,sin22sinsin4dsin2dsin)0,(