2020年上海市普陀区高考数学一模试卷试题及解析

2020年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空題（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否則一律得零分1．若抛物线y2＝mx的焦点坐标为（12，0），则实数m的值为．2．𝑙𝑖𝑚𝑛→∞3𝑛+1+2𝑛3𝑛+1=．3．不等式1𝑥＞1的解集为．4．已知i为虚数单位，若复数z=11+𝑖+mi是实数，则实数m的值为．5．设函数f（x）＝loga（x+4）（a＞0且a≠1），若其反函数的零点为2，则a＝．6．（1+1𝑥3）（1﹣x）6展开式中含x2项的系数为（结果用数值表示）．7．各项都不为零的等差数列{an}（n∈N*）满足a2﹣2a82+3a10＝0，数列{bn}是等比数列，且a8＝b8，则b4b9b11＝．8．设椭圆Γ：𝑥2𝑎2+y2＝1（a＞1），直线1过Γ的左顶点A交y轴于点P，交Γ于点Q，若△AOP是等腰三角形（O为坐标原点），且𝑃𝑄→=2𝑄𝐴→，则Γ的长轴长等于．9．记a，b，c，d，e，f为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则（a+b）（c+d）（e+f）为偶数的排列的个数共有．10．已知函数f（x）＝（x2+8x+15）（ax2+bx+c）（a，b，c∈R）是偶函数，若方程ax2+bx+c＝1在区间[1，2]上有解，则实数a的取值范围是．11．设P是边长为2√2的正六边形A1A2A3A4A5A6的边上的任意一点，长度为4的线段MN是该正六边形外接圆的一条动弦，则𝑃𝑀→•𝑃𝑁→的取值范围为．12．若M、N两点分别在函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象上，且关于直线x＝1对称，则称M、N是y＝f（x）与y＝g（x）的一对“伴点”（M、N与N、M视为相同的一对），已知f（x）={−√2−𝑥(𝑥＜2)√4−(𝑥−4)2(𝑥≥2)，g（x）＝|x+a|+1，若y＝f（x）与y＝g（x）存在两对“件点”，则实数a的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13．“m∈{1，2}“是“lnm＜1”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．设集合A＝{x||x﹣a|＝1}，B＝{1，﹣3，b}，若A⊆B，则对应的实数对（a，b）有（）A．1对B．2对C．3对D．4对15．已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题中正确的是（（）A．若a∥α，α∩β＝b，则a∥bB．若a，b在平面α内，且c⊥a，c⊥b，则c⊥αC．若a，b，c是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a，b，c都相交D．若α，β分别经过两异面直线a，b，且α∩β＝c，则c必与a或b相交16．若直线l：2𝑥2𝑏+𝑎+𝑦𝑎+𝑏=1经过第一象限内的点P（1𝑎，1𝑏），则ab的最大值为（）A．76B．4﹣2√2C．5﹣2√3D．6﹣3√2三、解答题（本大题共有5分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．如图所示的三棱锥P﹣ABC的三条棱PA，AB，AC两两互相垂直，AB＝AC＝2PA＝2，点D在棱AC上，且𝐴𝐷→=λ𝐴𝐶→（λ＞0）．（1）当λ=12时，求异面直线PD与BC所成角的大小；（2）当三棱锥D﹣PBC的体积为29时，求λ的值．18．设函数f（x）=|2𝑥2−𝑥𝑎1|．（1）当a＝﹣4时，解不等式f（x）＜5；（2）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．19．某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建．如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA＝60米，∠AOB＝60°，设∠POB＝θ．（1）求停车场面积S关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）．20．（16分）已知双曲线Γ：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的焦距为4，直线1：x﹣my﹣4＝0（m∈R）与Γ交于两个不同的点D、E，且m＝0时直线l与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形．（1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；（3）设A、B分别是Γ的左、右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值．21．（18分）数列{an}与{bn}满足a1＝a，bn＝an+1﹣an，Sn是数列{an}的前n项和（n∈N*）．（1）设数列{bn}是首项和公比都为−13的等比数列，且数列{an}也是等比数列，求a的值；（2）设bn+1﹣bn＝2n﹣1，若a＝3且an≥a4对n∈N*恒成立，求a2的取值范围；（3）设a＝4，bn＝2．∁n=𝑆𝑛+2𝜆2𝑛（n∈N*，λ≥﹣2），若存在整数k，1，且k＞l＞1，使得∁k＝∁l成立，求λ的所有可能值．2020年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空題（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否則一律得零分1．若抛物线y2＝mx的焦点坐标为（12，0），则实数m的值为2．【解答】解：由抛物线方程得：焦点坐标（𝑚4，0），∴𝑚4=12，∴m＝2，故答案为：2．2．𝑙𝑖𝑚𝑛→∞3𝑛+1+2𝑛3𝑛+1=3．【解答】解：𝑙𝑖𝑚𝑛→∞3𝑛+1+2𝑛3𝑛+1=𝑙𝑖𝑚𝑛→∞3+(23)𝑛1+(13)𝑛=3+01+0=3．故答案为：3．3．不等式1𝑥＞1的解集为{x|0＜x＜1}．【解答】解：∵1𝑥＞1，∴1𝑥−1=1−𝑥𝑥＞0，∴(1−𝑥)𝑥𝑥2＞0，∴0＜x＜1．∴不等式1𝑥＞1的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．4．已知i为虚数单位，若复数z=11+𝑖+mi是实数，则实数m的值为．【解答】解：∵复数z=11+𝑖+mi=1−𝑖(1+𝑖)(1−𝑖)+𝑚𝑖=12+(𝑚−12)𝑖是实数，∴m−12=0，即m=12．故答案为：12．5．设函数f（x）＝loga（x+4）（a＞0且a≠1），若其反函数的零点为2，则a＝2．【解答】解：函数f（x）＝loga（x+4）（a＞0且a≠1），若其反函数的零点为2，即函数过（0，2），代入2＝loga（0+4），a2＝4，a＝2（a＞0），故答案为：2．6．（1+1𝑥3）（1﹣x）6展开式中含x2项的系数为9（结果用数值表示）．【解答】解：二项式（1﹣x）6的展开式中，通项公式为Tr+1=𝐶6𝑟⋅(−𝑥)𝑟=𝐶6𝑟•（﹣1）r•xr，分别取r＝2，5，可得（1+1𝑥3）（1﹣x）6展开式中含x2项的系数为：(−1)2⋅𝐶62+(−1)5⋅𝐶65=9．故答案为：9．7．各项都不为零的等差数列{an}（n∈N*）满足a2﹣2a82+3a10＝0，数列{bn}是等比数列，且a8＝b8，则b4b9b11＝8．【解答】解：各项均不为0的等差数列{an}满足a2﹣2a82+3a10＝0，∴𝑎1+𝑑−2(𝑎1+7𝑑)2+3（a1+9d）＝0，化为：a1+7d＝2＝a8，∵数列{bn}是等比数列，且b8＝a8＝2，∴b4b9b11=𝑏83=8．故答案为：8．8．设椭圆Γ：𝑥2𝑎2+y2＝1（a＞1），直线1过Γ的左顶点A交y轴于点P，交Γ于点Q，若△AOP是等腰三角形（O为坐标原点），且𝑃𝑄→=2𝑄𝐴→，则Γ的长轴长等于2√5．【解答】解：如图所示，设Q（x0，y0）．由题意可得：A（﹣a，0），P（0，a）．∵𝑃𝑄→=2𝑄𝐴→，∴（x0，y0﹣a）＝2（﹣a﹣x0，﹣y0），∴x0=−2𝑎3，y0=𝑎3．代入椭圆Γ方程可得：49+𝑎29=1，解得a=√5．∴Γ的长轴长等＝2√5．故答案为：2√5．9．记a，b，c，d，e，f为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则（a+b）（c+d）（e+f）为偶数的排列的个数共有432．【解答】解：根据题意，a，b，c，d，e，f为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则共有A66＝720个排列，若（a+b）（c+d）（e+f）为偶数的对立事件为“（a+b）（c+d）（e+f）为奇数”，（a+b）、（c+d）、（e+f）全部为奇数，有6×3×4×2×2×1＝288，故则（a+b）（c+d）（e+f）为偶数的排列的个数共有720﹣288＝432．故答案为：432．10．已知函数f（x）＝（x2+8x+15）（ax2+bx+c）（a，b，c∈R）是偶函数，若方程ax2+bx+c＝1在区间[1，2]上有解，则实数a的取值范围是[18，13]．【解答】解：∵f（x）＝（x2+8x+15）（ax2+bx+c）是偶函数，图象关于y轴对称，令x2+8x+15＝0可得，x＝﹣3或x＝﹣5，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是ax2+bx+c＝0的两个根，{8=−𝑏𝑎15=𝑐𝑎，∴{𝑐=15𝑎𝑏=−8𝑎，由ax2+bx+c＝1可得，ax2﹣8ax+15a＝1，∵x∈[1，2]时，x2﹣8x+15∈[3，8]，∴a=1𝑥2−8𝑥+15∈[18，13]故答案为：[18，13]．11．设P是边长为2√2的正六边形A1A2A3A4A5A6的边上的任意一点，长度为4的线段MN是该正六边形外接圆的一条动弦，则𝑃𝑀→•𝑃𝑁→的取值范围为[6﹣4√2，8+8√2]．【解答】解：设正六边形外接圆的圆心为O，正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2√2，所以半径为2√2，设MN的中点为Q，则𝑃𝑀→⋅𝑃𝑁→=（𝑃𝑄→+𝑄𝑀→）•（𝑃𝑄→+𝑄𝑁→）=𝑃𝑄→2+𝑃𝑄→•（𝑄𝑀→+𝑄𝑁→）+𝑄𝑀→⋅𝑄𝑁→，因为𝑄𝑀→与𝑄𝑁→为相反向量，所以𝑃𝑄→•（𝑄𝑀→+𝑄𝑁→）＝0，𝑄𝑀→⋅𝑄𝑁→=−4，所以𝑃𝑀→•𝑃𝑁→=𝑃𝑄→2−4，因为|OQ|＝2，所以Q在以O为圆心，以2为半径的圆上，|PQ|max＝2√2+2，|PQ|min=√6−2，𝑃𝑀→•𝑃𝑁→=𝑃𝑄→2−4的最大值为8+8√2，最小值为6﹣4√2，所以𝑃𝑀→•𝑃𝑁→的取值范围为[6﹣4√2，8+8√2]．12．若M、N两点分别在函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象上，且关于直线x＝1对称，则称M、N是y＝f（x）与y＝g（x）的一对“伴点”（M、N与N、M视为相同的一对），已知f（x）={−√2−𝑥(𝑥＜2)√4−(𝑥−4)2(𝑥≥2)，g（x）＝|x+a|+1，若y＝f（x）与y＝g（x）存在两对“件点”，则实数a的取值范围为（3﹣2√2，1+2√2）．【解答】解：设曲线y＝f（x）关于x＝1的对称图象上的点为（x，y），（x，y）关于x＝1的对称点为（x′，y′），则x′＝2﹣x，y′＝y，代入f（x）={−√2−𝑥(𝑥＜2)√4−(𝑥−4)2(𝑥≥2)，得h（x）={−√𝑥(𝑥＞0)√4−(𝑥+2)2(𝑥≤0)．作出函数h（x）={−√𝑥(𝑥＞0)√4−(𝑥+2)2(𝑥≤0)的图象如图，函数g（x）＝|x+a|+1的图象是把y＝|x|+1向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位得到的．由图可知，要使y＝f（x）与y＝g（x）存在两对“伴点”，需要把g（x）＝|x+a|+1向左平移．则a＞0，设直线y＝﹣（x+a）+1，即x+y+a﹣1＝0，由圆心（﹣2，0）到直线的距离为2，得|−2+𝑎−1|√2=2，解得a＝3−2√2或a＝3+2√2（舍）；设直线y＝（x+a）+1，即x﹣y+a+1＝0，由圆心（