现代控制理论实验05

杨晓丹|现代控制理论|2015年4月17日实验5页1一、实验内容及目的根据要求设计控制二阶系统的超前校正，PI控制器，使系统的响应曲线达到要求。增加和减少零极点，观察响应曲线的变化。通过本次实验学会使用根轨迹法对系统进行分析和根据控制指标设计控制器。二、实验方案内容1.根据要求设计PI控制器1）控制对象及设计要求系统的传递函数为2()(1)(10)Gsss，要求1.阶跃响应无稳态误差，2.斜坡响应静态误差小于25%，3.超调量小于5%，4.阶跃响应的稳定时间小于1.5s。设控制器参数为()ckiGskps。系统闭环传函为22*2()((112)210)kpskiGssskpski。将系统视为为只由主导极点影响控制品质的系统，则可由控制条件找到理想的主导极点，若系统的根轨迹通过该主导极点，则系统控制品质接近控制要求，再对参数进行细微调整，找到满足要求的控制参数。2）控制器参数计算()1()1()esRsGs，ki不为0时，11lim021()(2)(10)seskiskpsss，满足要求1。2115lim21()(1)(10)seskiskikpsss，斜坡响应静态误差小于25%，则ki20。页221mpe，22ln()1ln()mpmp，超调量小于5%，则0.6901。3*tsWn，若稳定时间小于1.5s，则Wn2.8981。取Wn=3,jeta=0.65,理想主导极点为-1.95+2.28i和-1.95-2.28i,根轨迹的渐近线截距为110()31kikp，若根轨迹通过理想主导极点，则截距小于-1.95，既ki/kp7.1，取ki=20，则kp2.82时满足要求。由于存在其他零极点，kp=15，ki=20时能达到要求。3）仿真验证结果代码如下clc;clearall;closeall;kp=15;ki=20;st=5;dt=0.01;lp=st/dt;xi=0;y1=0;y2=0;fori=1:lpr(i)=1;e=r(i)-y2;xp=kp*e;xi=xi+ki*e*dt;u=xp+xi;y1=y1+(2*u-y1)*dt;y2=y2+(y1-10*y2)*dt;y(i)=y2;t(i)=i*dt;te(i)=e;end[v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7]=value(y,dt);figure(1)页3plot(t,y);legend(v7,4)figure(2)plot(t,te);2.根据要求设计超前环节1）控制对象和控制要求控制对象为1()(41)Gsss，要求1.阶跃响应无稳态误差，2.斜坡响应静态误差小于25%，3.超调量小于5%，4.阶跃响应的稳定时间小于1.5s。超前环节为()cszcGskcspc。2）超前环节参数计算由于系统自带纯积分环节，11lim**01()(41)sesszcskcsspcs，满足要求121mpe，22ln()1ln()mpmp，超调量小于5%，则0.6901。3*tsWn，若稳定时间小于1.5s，则Wn2.8981。取Wn=3,jeta=0.65,理想主导极点p0为-1.95+2.28i和-1.95-2.28i，计算超前调节的角度11180nmijijXPZ,做理想主导极点的角平分线，则超前环节零极点相对于理想主导极点的角度为02cPXZ，02cPXP。则可由三角函数算出2.281.95tancZcZ=-2.15,2.281.95tancPcP=-4.18。页4输入斜坡信号时211lim***1()(41)spcesszcskczckcsspcs，斜坡响应静态误差小于25%，则kc0.535时满足条件。由幅值条件计算得kc=4.76。3）仿真验证结果代码如下clc;clearall;closeall;r=1;T=0.5;mp=5;ts=1.5;a=-1.95;b=2.28;p0=a+b*1i;p1=0;p2=-1/T;anx=angle(p0-p1)+angle(p0-p2)-pi;anp0=angle(p0);anzc=anx/2+anp0/2;anpc=anp0/2-anx/2;zc=a-b/tan(anzc);pc=a-b/tan(anpc);kc=1/(abs((p0-zc)/(p0-pc))*abs(1/p0/(T*p0+1)));t=0:0.01:5;s=tf('s');sys=kc*(s-zc)/(s-pc)/s/(T*s+1);sys1=sys/(1+sys);y=step(sys1,t);[v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7]=value(y,t(2)-t(1));figure(1)plot(t,y);legend(v7,4);figure(2)rlocus(sys);holdon;plot(a,b,'ks',a,-b,'ks');页53.增减开环零点和极点，观察根轨迹的变化1）增加零点，观察根轨迹的变化传递函数1()(2)(4)(6)(8)Gsssss2）增加极点，观察根轨迹的变化传递函数6()(2)(4)(8)sGssss3）减去零点，观察根轨迹的变化传递函数6()(2)(4)(8)sGssss4）减去极点，观察根轨迹的变化传递函数6()(2)(4)(5)(8)sGsssss代码如下clc;clearall;closeall;s=tf('s');%wn=-9;%y=0.1;%a1=wn*y;%b1=sqrt(wn*wn-a1*a1);%a2=-8;%b2=5;%sysfs1=s*s-2*a1*s+a1*a1+b1*b1;%sysfs2=s*s-2*a2*s+a2*a2+b2*b2;sysk=1/(s+2)/(s+4)/(s+6)/(s+8);sys=sysk/(s+1);rlocus(sys);G=zpk(sys);[z,p,k]=zpkdata(G,'v');z=z';p=p';zs=num2str(z);ps=num2str(p);text=['零点',zs,'','极点',ps];title(text);页64.更改系统的零点和极点，观察系统响应曲线的变化三、实验结果及分析1.PI控制仿真取kp=3,ki=20系统的输出页7根轨迹图取kp=15,ki=20页8系统的输出页9斜坡输入下的稳态误差根轨迹图可以看出，kp=3时，根轨迹未通过理想主导极点，控制品质未达到指标。页10kp=15时，根轨迹也未通过极点，不过在理想极点的区域内，控制品质达到指标。2.超前校正仿真根轨迹为页11kc=4.76时kc=3时页12由于受到其他极点的影响，按照幅值条件计算出的kc值并不满足要求，由于超调量较大，减小kc到3后满足要求。根轨迹通过理想主导极点。3.增减开环零点和极点，观察根轨迹的变化1）增加零点，观察根轨迹的变化页13未增加极点时加入-1页14页15页16页17页18页19页202）增加极点，观察根轨迹的变化页21页22页233）减去零点，观察根轨迹的变化页244）减去极点，观察根轨迹的变化页25页26页275）结果分析1）增加极点后，趋于无穷的极点数增多，增加零点后，趋于无穷的极点数减少。因为根轨迹起始于n个极点，终止于m个零点，且m-n个零点是无穷零点。由于幅值条件，11()()0nmijijSPkSZ，随着K的增大可得到该结论。2）增加极点增加了根轨迹的分支数。因为根轨迹的分支数等于闭环特征方程式的阶次，根轨迹为连续的曲线，并对称于实轴。增加极点就增加了闭环特征方程的阶次。3）增加一个极点或一个零点，会改变是否有根轨迹沿负实轴通向无穷远处。因为若实轴段右侧开环极点和开环零点之和为奇数，则实轴段为根轨迹或根轨迹的一部分。4）从右向左的连接零点和极点，若有连续两个未与零点相连的极点，则两极点根轨迹会相交，然后分离。因为趋于无穷远的根轨迹的渐近线均交于实轴上。5）增加零点，根轨迹的渐近线向左移动。增加极点，根轨迹的渐近线向右移动。因为渐近线坐标为11()()nmjijiPZnm。6）增加零点，根轨迹的渐近线角度减小，增加极点，根轨迹的渐近线角度增大。因为渐近线与正实轴的夹角为180(21)qnm。7）减少极点和零点则相反。页284.更改系统的零点和极点，观察系统响应曲线的变化1）运动形式页29实数极点拉普拉斯逆变换后为单调递减的指数，而复数极点的实部拉普拉斯逆变换后为单调递减的指数，虚部为周期性变化的三角函数。若极点全为实数极点，则系统的时域函数也单调递减，若系统的极点全为复数极点，由于时域函数含有周期性变化的的三角函数，所以系统会出现震荡。如果闭环系统无零点，闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环系统均为复数极点，则时间响应一般是震荡的。2）稳定性页30闭环极点全在虚轴左侧时，系统是稳定的，若有极点在虚轴右侧，系统发散。3）超调量页31页32超调量为21e，而极点的实部为aWn。所以增大主导极点的衰减率，超调量减小。改变其他零极点的位置也会影响超调量。4）调节时间页33调节时间3.5tsWn，既调节时间与主导极点的实部有关，实部离虚轴越远，调节时间越短。如果实数离虚轴最近，且它没有实数零点，则调节时间主要取决于该数的模值。5）实数零点和极点对系统的影响页34页35页36零点减小阻尼，使峰值时间提前，超调量增大，极点增大阻尼，使峰值时间迟后，超调量减小，且离虚轴越远影响越小。6）偶极子页37远离原点的偶极子，其影响可以忽略，接近原点的偶极子其影响必须考虑。7）主导极点传递函数为21()(2)(25)(8)Gsssss，依次去掉各个极点。页38可以看出，去掉离虚轴越远的极点，对系统的影响越小。在S平面上，最靠近虚轴而附近无闭环零点的一些闭环极点，对系统的影响最大，结合偶极子的处理原则，可将高阶系统简化为二、三个主导极点和一两个零点。四、实验中遇到的问题1.刚开始对根轨迹法并不太熟悉，在网上搜了基于根轨迹法的调节方法后，才明白要如何去设计控制器。2.超前校正的对象刚开始T设得太大，无论如何ts和mp都不能同时满足，替换对象后才解决这一问题。3.离散化仿真的代码经常写错，仿真结果容易出一些意想不到的问题。页394.增减开环零点和极点的实验原来打算讨论复数的开环零点和极点，做了一些尝试，没有找到规律。5.增减闭环零点和极点的实验对象分别针对各个结论设计，每个小实验的对象都不相同。