导数中常见零点问题解决方法

导数中的零点问题解决方法解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。一、能直接分离参数的零点题目此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。例1.已知函数(),()lnafxxgxxx，若关于x的方程2()()2gxfxex只有一个实数根，求a的值。解析：22()ln()22gxxfxeaxexxx，令2ln()2xhxxexx，'21ln()22xhxxex，令'()0hx，则xe当0xe时，'()0hx，()hx单调递增；当xe时，'()0hx，()hx单调递减，2max1()()hxheee注意这里()hx的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()hx的式子很复杂，但是如果把()hx当成两个函数的和，即2ln(),()2xmxnxxexx，此时(),()mxnx的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()hx的单调性和极值点。所以21aee（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()fx在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()fx在区间(0,1)上存在极值点。在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。例2.已知函数32()31fxaxx，若()fx存在唯一的零点0x，且00x，则a的取值范围是解析：当二阶导数失灵根据二阶导判断一阶导的单调性若一阶导数单调且存在唯一的零点，则设出零点该零点满足是原函数中最值的点还满足这个零点使得一阶导数为零可直接得出原函数的最值或者带有所设零点的式子时，2()31fxx有两个零点，不符合题意当0a时，'2()363(2)fxaxxxax，若'()0fx，则20xxa或若'()0fx，则20xa，此时函数在(,0)上单增，(1)20fa此时在(,0)上存在零点，不符合题意。当0a时，若'()0fx，则20xa，若'()0fx，则2xa或0x此时要保证函数存在唯一的正零点，则2()0fa，解得(,2)a注意：如果不是的大题没必要分类讨论，做出符合题意的图像反推即可例3.已知函数2()ln2fxxxbx在区间1[,]ee上有两个不同零点，求实数b的取值范围。解析：2'222(2)(1)()xxxxfxxx，可知函数()fx在(0,1)上递减，在(1,)上递增，要保证函数()fx在1[,]ee上有两个不同的零点，根据函数的趋势图像可得必须满足1()02(1)011()0fefbeefe例4.已知函数32()fxxaxb（1）讨论()fx的单调性；（2）若bca，当函数()fx有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22，求c的值。解析：（1）当0a时，()fx在R上单调递增当0a时，()fx在2(,),(0,)3a上单调递增，在2(,0)3a上单调递减；当0a时，()fx在2(,0),(,)3a上单调递增，在2(0,)3a上单调递减；（2）只有当0a时才有可能满足()fx有三个零点因为()fx有两个极值点324(0),()327afbfab，要满足有三个零点必须满足2(0)()03aff，结合bca可得330044002727aaaacaac或，因为()fx恰有三个零点时，a的取值范围是33(,3)(1,)(,)22所以题目可以转化为34027aac在33(1,)(,)22a上恒成立，且34027aac在(,3)a上恒成立设34()27haaac，对其求导可得()ha在33(,),(,)22递增，在33(,)22递减，因此()ha图像必须满足以下趋势：所以(3)0101311()02fcccf验证：当1c时，322()1(1)[(1)1]fxxaxaxxaxa函数有三个不等的实数根，所以2()(1)10hxxaxa有两个不相等且不等于-1的实数根，所以必须满足033(,3)(1,)(,)(1)022ah综上，1c第一问很简单，但是是解决第二问必要的前提，第二问题目中函数有三个不同的零点，但是题目中有两个参数，类似于双参数问题解决方法，最后将两个参数中已知的那个作为自变量，然后转化为恒成立问题即可，三个零点意味着两个极值的积为负值，然后再根据不同的a的取值转化为函数恒成立问题，通过函数的趋势图像即可解出符合题意的条件。但是很多同学缺省最后检验的步骤，同时也不理解为什么需要验证，如果不验证，则即便满足有三个零点，此时的a的取值范围也可以不是题目中给出的范围，注意这个恰字就说明了必须要进行最后的验证。例6.已知函数2()1xfxeaxbx（1）设()gx是函数()fx的导函数，求函数()gx在区间[0,1]上的最小值；（2）若(1)0f，函数()fx在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围。解析：（1）'()2,()2xxgxeaxbgxea当0a时，'()0gx，()gx在[0,1]递增，min()(0)1gxgb当0a时，令'()0gx，ln2xa，此时0,1,ln2a位置不确定因此需要讨论Case1:当ln21a时，2ea，此时()gx在[0,1]递减，min()(1)2gxgeabCase1:当ln20a时，12a，此时()gx在[0,1]上递增，min()(0)1gxgbCase3:当0ln21a时，即122ea，此时min()(ln2)22ln2gxgaaaab综上所述min11()21()22ln2()222()2baegxaaabaeeaba（2）本题目隐藏一个条件即(0)0f，又知(1)0f，所以如果()fx在区间(0,1)内有零点，则()fx在(0,1)内至少有两个极值点或者至少有三个单调区间或者说()gx在(0,1)内不可以恒正也不可以恒负。（要好好理解这句话）题目中有两个参数，根据(1)0f可得1bea，若当12a或2ea时，函数()gx为单调函数，不符合题意，故a只能在1(,)22e内取值，此时min()32ln21gxaaae，且要满足32ln210aaae才可令'()32ln21,()12ln2hxxxxehxx，根据单调性可知min()10hxee，此时ming()0x成立，因此要保证()fx在(0,1)上至少有三个单调区间，则需要满足条件122(0)021(1)0eageag题目第二问的关键是理解原函数单调区间的个数和导函数零点个数之间的关系，建议同学们在做第二问的时候把相应的图作出来就明白了。总结：处理零点问题不管是处在函数的题目里面还是导数的题目里面，方法都是一样的，都是需要用到数形结合思想，通过判断单调性，既可以大致的将函数的趋势图像都作出来，然后根据题目的要求作出合适的函数图像以及列出不等式即可。