行列式的计算方法

行列式的计算方法制作人：第十一组全体成员行列式分类(1):二阶行列式(2):三阶行列式（3）：四阶行列式或N阶行列式一：二阶行列式（对角线法则）用消元法解二元一次方程组：得：)2()1(1222aa211222111222211aaaaababx得：)1()2(2111aa211222112111122aaaaababx(2)(1)22221211212111bxaxabxaxa)0(21122211aaaa22a11a12a21a分母为21xx和的系数交叉相乘相减：定义二阶行列式：主对角线元素2112221122211211aaaaaaaa图示记忆法例23153)1(2513用消元法解三元线性方程组：333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa可得ix的分母为(若不为零）：322113312312332211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa定义三阶行列式：333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa＋－图示记忆法二：三阶行列式三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上三个元素相乘所得到的项带正号，凡是虚线上三个元素相乘所得到的项带负号．这种展开法称为对角线展开法．这种展开法称为对角线展开法（对角线法则）下面介绍三阶行列式的展开式：(行列式按行列展开法则）333231232221131211aaaaaaaaa131312121111AaAaAa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa其中A11、A12、A13分别称为a11、a12、a13的代数余子式，333223221111)1(aaaaA333123212112)1(aaaaA323122213113)1(aaaaA方法1定义法利用n阶行列式的定义计算行列式,此法适用于0比较多的行列式。00020000001999002000000001例1求下列行列式的值解利用n阶行列式的定义,可直接计算其值Ｄ＝２０００！例2计算行列式42031285251873121D方法2：化三角法化三角法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或者对三角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法之一。解首先给第1行分别乘-7,-5,-3,分别加到第2,3,4行上,再交换第2,3两行的位置;给第二行分别乘以2,-3后,分别加到第3,4行上;最后给第3行乘1加到第4行即可。121304219023140615D121302314042190611512130231400847008371601000047800143203121几种特殊行列式：例nnnnnaaaaaaD21222111O解由定义，nnnnjjjjjjjjjNnaaaD21212121)()1(只有,11j,22j时njn,,02121nnjjjaaa,0)12()(21nNjjjNn而nnnaaaD2211故nnaaa2211左下三角形行列式右上三角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.9)类似可得：nnnnnaaaaaaD22211211特别：对角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.10)nnaaa2211nnaaa2211nnnaaaD2211OO方法3拆行（列）法由行列式拆项性质，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行（列）法。例3求解行列式解按第一列拆开,再提公因子得33()xyzabyzxzxyD=再把第１个行列式按第３列展开，第２个行列式按第２列展开．最终得bzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyaxDbzaybyaxxbyaxbxazzbxazbzayybbzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayxaD方法4降阶法利用行列式按行按列展开定理将高阶行列式转化为较低阶行列式求解的方法叫做降阶法.它可以分为直接降阶法和递推降阶法直接降阶法用于只需经少量几次降阶就可求得行列式值的情况。递推降阶法用于需经多次降阶才能求解，并且较低阶行列式与原行列式有相同结构的情况。例4求解下列行列式：（1）解利用按行按列展开定理把原行列式按第1列展开降阶后的两个低阶行列式都是三角形行列式,故原行列式的值为1(1)nnnnDxyxyyxyxyxDn000000000000yxyxyyxyxyxxDnn0000000)1(0000000112211000010000000001nnnnxxxDxaaaaax（2）解把原行列式按第1列展开得112211001000000100(1)000001001nnnnnxxxDxaxxaaaaxx降阶后的行列式,第1个行列式与原行列式的结构相同,此行列式用Ｄn-1表示,而后一个行列式是三角形行列式,则上式可表示为1nnnDaxD①将代入中得112nnnDaxD111nnnnnDaaxaxx2121221xxaaxaaxD把Dn-1按同样的方法展开得依次下去，得把代入中得221nnnnDxxaaD②②①22221DxDxxaaDnnnnn而③④④③方法5利用范德蒙行列式计算例计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。nnnnnnnD321321321222，于是得到增至则方幂次数便从若提取各列的公因子，递升至而是由变到从但不是数的不同方幂中各列元素分别是一个10.1,10,nnnDn解1113213211111!nnnnnnnD1)(!jinjixxn!.1!2)!2()!1(!)]1([)2()24)(23()1()13)(12(!nnnnnnnnTHANKS第十一组全体成员