含参数的导数分类讨论问题的研究与拓展

专题3.2：含参数的导数分类讨论问题的研究与拓展【探究拓展】探究：已知函数0,)(2aexxfax（1）讨论函数)(xf的单调性；（2）求函数)(xf在区间1,0上的最大值.变式1：已知函数bxaxxxf221ln)(，且0)1('f（1）试用含有a的式子表示b；（2）求)(xf的单调区间.变式2：函数)11(32xxy的图像上有BA,两点，且xABxxBA//,轴，其中点),2(mC，其中3m，（1）试写出用点B的横坐标t表示ABC面积S的函数解析式)(tfS；（2）记S的最大值为),(mg求)(mg.变式3：设函数2()(2)lnfxxaxax，求函数()fx的单调区间.拓展1：设函数322316,fxxaxaxaR．（1）当1a时，求证：fx为单调增函数；（2）当1,3x时，fx的最小值为4，求a的值．解：（1）当1a时，32266fxxxx，所以226126610fxxxx≥，所以fx为单调增函数．（2）61fxxxa．①当1a≤时，fx在区间1,3上是单调增函数，最小值为1f，由14f，得513a（舍去）．②当13a时，fx在区间1,a上是减函数，在区间,3a上是增函数，最小值为fa，由4fa，得2a或1a（舍去）．③当3a≥时，fx在区间1,a上是减函数，最小值为3f，由34f，得2339a（舍）综上所述，2a．变式：已知函数f(x)＝(m－3)x3+9x.（1）若函数f(x)在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f(x)在区间［1，2］上的最大值为4，求m的值．【解】（1）因为f(0)＝90，所以f(x)在区间，上只能是单调增函数．由f(x)＝3(m－3)x2+9≥0在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以m≥3．故m的取值范围是［3，+∞)．（2）当m≥3时，f(x)在［1，2］上是增函数，所以[f(x)]max＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4,解得m＝543，不合题意，舍去．当m＜3时，f(x)＝3(m－3)x2+9=0，得33xm．所以f(x)的单调区间为：33m，单调减，3333mm，单调增，33m，单调减．①当323m≥，即934m≤时，33[12]33mm，，，所以f(x)在区间［1，2］上单调增，[f(x)]max＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4，m＝54，不满足题设要求．②当3123m，即0＜m＜94时，[f(x)]max3043fm舍去．③当313m≤，即m≤0时，则3[12]3m，，，所以f(x)在区间［1，2］上单调减，[f(x)]max＝f(1)＝m+6＝4，m＝－2.综上所述：m＝－2．拓展2：已知函数f(x)＝12m(x－1)2－2x＋3＋lnx，m∈R．（1）当m＝0时，求函数f(x)的单调增区间；（2）当m＞0时，若曲线y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l与曲线y＝f(x)有且只有一个公共点，求实数m的值．解（1）由题意知，f(x)＝－2x＋3＋lnx，所以f′(x)＝－2＋1x＝－2x＋1x(x＞0)．…2分由f′(x)＞0得x∈(0，12)．所以函数f(x)的单调增区间为(0，12)．………4分（2）由f′(x)＝mx－m－2＋1x，得f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l的方程为y＝－x＋2．……………………6分由题意得，关于x的方程f(x)＝－x＋2有且只有一个解，即关于x的方程12m(x－1)2－x＋1＋lnx＝0有且只有一个解．令g(x)＝12m(x－1)2－x＋1＋lnx(x＞0)．则g′(x)＝m(x－1)－1＋1x＝mx2－(m＋1)x＋1x＝(x－1)(mx－1)x(x＞0)．……………8分①当0＜m＜1时，由g′(x)＞0得0＜x＜1或x＞1m，由g′(x)＜0得1＜x＜1m，所以函数g(x)在(0，1)为增函数，在(1，1m)上为减函数，在(1m，＋∞)上为增函数．又g(1)＝0，且当x→∞时，g(x)→∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．故0＜m＜1不合题意．………………………10分②当m＝1时，g′(x)≥0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，且g(1)＝0，故m＝1符合题意．③当m＞1时，由g′(x)＞0得0＜x＜1m或x＞1，由g′(x)＜0得1m＜x＜1，所以函数g(x)在(0，1m)为增函数，在(1m，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．又g(1)＝0，且当x→0时，g(x)→－∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．故m＞1不合题意．综上，实数m的值为m＝1．变式：已知函数2()lnfxxaxx，aR．（1）若函数()yfx在其定义域内是单调增函数，求a的取值范围；（2）设函数()yfx的图象被点(2,(2))Pf分成的两部分为12,cc（点P除外），该函数图象在点P处的切线为l，且12,cc分别完全位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值．解：（1）2121()21(0)axxfxaxxxx+，只需要2210axx≤，即22111112()24axxx≤，所以18a≤．（2）因为1()21fxaxx．所以切线l的方程为1(4)(2)ln2422yaxa．令21()ln(4)(2)ln2422gxxaxxaxa，则(2)0g．212(4)1112()242axaxgxaxaxx．若0a，则2()2xgxx，当(0,2)x时，()0gx；当(2,)x+时，()0gx，所以()(2)0gxg≥，12,cc在直线l同侧，不合题意；若0a，12(2)()4()axxagxx，若18a，2(1)2()0xgxx≥，()gx是单调增函数，当(2,)x+时，()(2)0gxg；当(0,2)x时，()(2)0gxg，符合题意；…10分若18a，当1(,2)4xa时，()0gx，()(2)0gxg，当(2,)x时，()0gx，()(2)0gxg，不合题意；若108a，当1(2,)4xa时，()0gx，()(2)0gxg，当(0,2)x时，()0gx，()(2)0gxg，不合题意；若0a，当(0,2)x时，()0gx，()(2)0gxg，当(2.)x时，()0gx，()(2)0gxg，不合题意．故只有18a符合题意．拓展3：已知函数xaaxxxf)2(ln)(2．（1）讨论)(xf的单调性；（2）设0a，证明：当ax10时，)1()1(xafxaf；（3）若函数)(xfy的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：0)(0xf．解：（1）()(0,),fx的定义域为1(21)(1)()2(2).xaxfxaxaxx（i）若0,()0,()(0,)afxfx则所以在单调增加.（ii）若10,()0,afxxa则由得且当11(0,),()0,,()0.xfxxfxaa时当时所以1()(0,)fxa在单调增加，在1(,)a单调减少.（2）设函数11()()(),gxfxfxaa则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111gxaxaxaxaaaxgxaaxaxax当10,()0,(0)0,()0xgxggxa时而所以.故当10xa时，11()().fxfxaa（3）由（I）可得，当0,()ayfx时函数的图像与x轴至多有一个交点，故0a，从而()fx的最大值为11(),()0.ffaa且不妨设1212121(,0),(,0),0,0.AxBxxxxxa则由（II）得111211()()()0.fxfxfxaaa从而1221021,.2xxxxxaa于是由（I）知，0()0.fx拓展4：已知函数32()(,fxaxxaxaxR)．（1）若a＝1，求函数()fx对应曲线上平行于x轴的所有切线的方程；（2）直接写出（不需给出演算步骤）函数()1()ln()2fxgxxxx的单调递增区间；（3）如果存在(,1]a，使函数()()()hxfxfx，[1,]xb，在1x处取得最小值，试求b的取值范围．解：（1）由题意知，2()321fxxx，由23210xx，得113xx或.当1x时，(1)1f；当13x时，15()327f．∴所求切线方程为1y和527y．（2）当18a≤时，不存在增区间；当108a时，增区间为118118(,)44aaaa；当01a≤时，增区间为2(,)118a；当1a≥时，增区间为1(,)2．（3）32()(31)(2)hxaxaxaxa，由题意知，()(1)hxh≥在区间[1,]b上恒成立，即2(1)[(21)(13)]0xaxaxa≥在区间[1,]b上恒成立．当1x时，上式显然成立，∴1b；当1xb≤时，可转化为2(21)(13)0axaxa≥在区间(1,]b上恒成立，令2()(21)(13)xaxaxa，由于二次函数()x的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又(1)40a，所以只要()0b≥，即关于a的不等式2(21)(13)0ababa≥在(,1]a上有解，即22311bbba≤在(,1]a上有解，所以2max231()1bbba≤，即22311bbb≤，解得11711722b≤≤，又1b，∴11712b≤．综上可得，所求b的取值范围为11712b≤．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？