高考数学复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第四讲不等式教案文

第四讲不等式年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷线性规划求最值·T141.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查．2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查．3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.Ⅱ卷线性规划求最值·T14Ⅲ卷线性规划求最值·T152017Ⅰ卷线性规划求最值·T7Ⅱ卷线性规划求最值·T7Ⅲ卷线性规划求范围·T52016Ⅰ卷不等式比较大小、函数的单调性·T8线性规划的实际应用·T16Ⅱ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1线性规划求最值·T14Ⅲ卷不等式比较大小、函数的单调性·T7线性规划求最值·T13不等式性质及解法授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论]1．一元二次不等式ax2＋bx＋c0(或0)(a≠0，Δ＝b2－4ac0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．3．解含参数不等式要正确分类讨论．[全练——快速解答]1．(2018·深圳一模)已知ab0，c0，下列不等关系中正确的是()A．acbcB．acbcC．loga(a－c)logb(b－c)D．aa－cbb－c解析：法一：(性质推理法)A项，因为ab，c0，由不等式的性质可知acbc，故A不正确；B项，因为c0，所以－c0，又ab0，由不等式的性质可得a－cb－c0，即1ac1bc0，再由反比例函数的性质可得acbc，故B不正确；C项，若a＝12，b＝14，c＝－12，则loga(a－c)＝1＝0，logb(b－c)＝341＝0，即loga(a－c)logb(b－c)，故C不正确；D项，aa－c－bb－c＝ab－c－ba－ca－cb－c＝cb－aa－cb－c，因为ab0，c0，所以a－cb－c0，b－a0，所以cb－aa－cb－c0，即aa－c－bb－c0，所以aa－cbb－c，故D正确．综上，选D.法二：(特值验证法)由题意，不妨取a＝4，b＝2，c＝－2.则A项，ac＝－8，bc＝－4，所以acbc，排除A；B项，ac＝4－2＝116，bc＝2－2＝14，所以acbc，排除B；C项，loga(a－c)＝log4(4＋2)＝log46，logb(b－c)＝log2(2＋2)＝2，显然log462，即loga(a－c)logb(b－c)，排除C.综上，选D.答案：D2．(2018·湖南四校联考)已知不等式mx2＋nx－1m0的解集为xx－12或x2，则m－n＝()A.12B．－52C.52D．－1解析：由题意得，x＝－12和x＝2是方程mx2＋nx－1m＝0的两根，所以－12＋2＝－nm且－12×2＝－1m2(m0)，解得m＝－1，n＝32，所以m－n＝－52.答案：B3．不等式4x－2≤x－2的解集是()A．(－∞，0]∪(2,4]B．[0,2)∪[4，＋∞)C．[2,4)D．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：①当x－20，即x2时，不等式可化为(x－2)2≥4，所以x≥4；②当x－20，即x2时，不等式可化为(x－2)2≤4，所以0≤x2.综上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)．答案：B4．已知x∈(－∞，1]，不等式1＋2x＋(a－a2)·4x0恒成立，则实数a的取值范围为()A.－2，14B.－∞，14C.－12，32D.(]－∞，6解析：根据题意，由于1＋2x＋(a－a2)·4x0对于一切的x∈(－∞，1]恒成立，令2x＝t(0t≤2)，则可知1＋t＋(a－a2)t20⇔a－a2－1＋tt2，故只要求解h(t)＝－1＋tt2(0t≤2)的最大值即可，h(t)＝－1t2－1t＝－1t＋122＋14，又1t≥12，结合二次函数图象知，当1t＝12，即t＝2时，h(x)取得最大值－34，即a－a2－34，所以4a2－4a－30，解得－12a32，故实数a的取值范围为－12，32.答案：C5．设函数f(x)＝lgx＋1，x≥0，－x3，x0，则使得f(x)≤1成立的x的取值范围是________．解析：由x≥0，lgx＋1≤1得0≤x≤9，由x0，－x3≤1得－1≤x0，故使得f(x)≤1成立的x的取值范围是[－1,9]．答案：[－1,9]【类题通法】1．明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．2．掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)a对一切x∈I恒成立⇔f(x)mina；f(x)a对一切x∈I恒成立⇔f(x)maxa.(2)f(x)g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等.基本不等式授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论]求最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立．[全练——快速解答]1．(2018·长春模拟)已知x0，y0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为()A．8B．9C．12D．16解析：由4x＋y＝xy得4y＋1x＝1，则x＋y＝(x＋y)·4y＋1x＝4xy＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4xy＝yx，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.答案：B2．(2017·高考天津卷)若a，b∈R，ab0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________．解析：因为ab0，所以a4＋4b4＋1ab≥24a4b4＋1ab＝4a2b2＋1ab＝4ab＋1ab≥24ab·1ab＝4，当且仅当a2＝2b2，ab＝12时取等号，故a4＋4b4＋1ab的最小值是4.答案：43．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．解析：由题意，一年购买600x次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x＝4900x＋x≥8900x·x＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：30【类题通法】掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋Agx＋Bg(x)(A0，B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第11页[悟通——方法结论]平面区域的确定方法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件3x＋2y－6≤0，x≥0，y≥0，则z＝x－y的取值范围是()A．[－3,0]B．[－3,2]C．[0,2]D．[0,3]解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．答案：B2．已知平面上的单位向量e1与e2的起点均为坐标原点O，它们的夹角为π3.平面区域D由所有满足OP→＝λe1＋μe2的点P组成，其中λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D的面积为()A.12B.3C.32D.34解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e1＝(1,0)，e2＝12，32，设向量OP→＝(x，y)，因为OP→＝λe1＋μe2，所以x＝λ＋μ2，y＝3μ2，即λ＝x－3y3，μ＝23y3，因为λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以3x＋y≤3，3x－y≥0，y≥0表示的平面区域D如图中阴影部分所示，所以平面区域D的面积为34，故选D.答案：D3．(2018·福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元．该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．解析：设该厂每个月生产x把椅子，y张桌子，利润为z元，则得约束条件4x＋8y≤8000，2x＋y≤1300，z＝1500x＋2000y.x，y∈N，画出不等式组x＋2y≤2000，2x＋y≤1300，x≥0，y≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x＋4y＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P时，z取得最大值．由x＋2y＝2000，2x＋y＝1300，得x＝200，y＝900，即P(200,900)，所以zmax＝1500×200＋2000×900＝2100000.故每个月所获得的最大利润为2100000元．答案：2100000【类题通法】解决线性规划问题的3步骤[练通——即学即用]1．(2018·湘东五校联考)已知实数x，y满足x＋2y≥0，x－y≤0，0≤y≤k，且z＝x＋y的最大值为6，则(x＋5)2＋y2的最小值为()A．5B．3C.5D.3解析：作出不等式组x＋2y≥0，x－y≤0，0≤y≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图形可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z的纵截距最大，此时z最大，最大值为6，即x＋y＝6.由x＋y＝6，x－y＝0，得A(3,3)，∵直线y＝k过点A，∴k＝3.(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点与D(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x＋2y＝0的距离最小，可得(x＋5)2＋y2的最小值为|－5＋2×0|12＋222＝5.故选A.答案：A2．已知变量x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≥0，2x＋y≤1，记z＝4x＋y的最大值是a，则a＝________.解析：如图所示，变量x，y满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x＋y＝0，平移直线，知当直线经过点A时，z取得最大值，由2x＋y＝1，x＋y＝0，解得x＝1，y＝－1，所以A(1，－1)，此时z＝4×1－1＝3，故a＝3.答案：33．(2018·高考全国卷Ⅰ)若x、y满足约束条件x－2y－2≤0，x－y＋1≥0，y≤0，则z＝3x＋2y的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z＝3x＋2y得y＝－32x＋z2.