最优控制理论及应用

最优控制理论与应用2020年2月19日1最优控制理论与应用第一章最优控制问题的一般概念第二章最优控制的变分方法第三章极小值原理及其应用第四章线性二次型问题的最优控制第五章动态规划最优控制理论与应用2020年2月19日2一基本概念最优控制理论中心问题：给定一个控制系统（已建立的被控对象的数学模型），选择一个容许的控制律，使被控对象按预定要求运行，并使给定的某一性能指标达到极小值（或极大值）第一章最优控制问题的一般概念最优控制理论与应用2020年2月19日3二最优控制问题1例子飞船软着陆问题宇宙飞船在月球表面着陆时速度必须为零，即软着陆，这要靠发动机的推力变化来完成。问题是如何选择一个推力方案，使燃料消耗最小。m飞船的质量，h高度，v垂直速度，g月球重力加速度常数，M飞船自身质量F燃料的质量最优控制理论与应用2020年2月19日4hvuvgmmKu软着陆过程开始时刻t为零K为常数，初始状态0(0)hh0(0)vvFMm)0(末端条件0)(Th0)(Tv最优控制理论与应用2020年2月19日5性能指标()JmT控制约束max0()utu任务：满足控制约束条件下，求发动机推力的最优变化律，使登月舱由初始出发点到达目标处（末态），并使性能指标达到极值（燃耗量最小）最优控制理论与应用2020年2月19日6例2火车快速运行问题设火车从甲地出发，求容许控制，使其到达乙地时间最短。m火车质量；火车加速度；u（t）产生加速度的推力且火车运动方程x|()|utM()mxut000f0t()()0(T)(T)0JuxtxxtxxxTt0T初始条件终端条件性能指标（）=dt最优控制理论与应用2020年2月19日72问题描述(1)状态方程一般形式为00()((),(),)()|ttxtfxtuttxtx()nxtR为n维状态向量()rutR为r维控制向量)),(),((ttutxf为n维向量函数给定控制规律)(tu)),(),((ttutxf满足一定条件时，方程有唯一解最优控制理论与应用2020年2月19日8(2)容许控制Uu0)(uGU：Uu,(3)目标集{()((),)0}SxTxTT((),)xTTn维向量函数()TxTx固定端问题nSR自由端问题最优控制理论与应用2020年2月19日9(4)性能指标0(())((),)((),(),)dfttJuxTTLxtuttt对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标0)),((TTx积分型性能指标，表示对整个状态和控制过程的要求0)),(),((ttutxL终点型指标，表示仅对终点状态的要求最优控制理论与应用2020年2月19日10最优控制的应用类型积分型1）最小时间控制2）最小燃耗控制3）最小能量控制00fttJdtTt0[(),(),]fttJLxtuttdt01|()|fmtjtjJutdt0()()ftTtJututdt最优控制理论与应用2020年2月19日11末值型复合型1）状态调节器2）输出跟踪系统(())((),)JuxTT011()()[()()()()]22ftTTTtJxTFxTxtQxtutRutdt011()()[()()()()]22()()()ftTTTtJeTFeTetQetutRutdtetztyt为跟踪误差最优控制理论与应用2020年2月19日12最优控制的研究方法解析法：适用于性能指标及约束条件有明显解析式数值计算方法：性能指标比较复杂1）一维搜索法：适合单变量求极值2）多维搜索法：适合单变量求极值梯度法：解析与数值方法相结合1)无约束梯度法2)有约束梯度法最优控制理论与应用2020年2月19日13第二章最优控制中的变分法2.1泛函与变分法基础平面上两点连线的长度问题其弧长为1211()dJxtt最优控制理论与应用2020年2月19日14一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线，记为。(())Jx(())Jx，称为泛函。)(tx，称泛函的宗量泛函定义：x(t)是自变量t的函数，若对每个函数x(t)，有一个J值与之对应，则变量J称为依赖于x(t)的泛函，记J(x(t))(())Jx例举：10()()Jxxtdt0()[(),(),]fttJxLxtxttdt最优控制理论与应用2020年2月19日15线性泛函与连续泛函：线性泛函泛函对宗量是线性的连续泛函若定义在线性赋范空间上的泛函又满足连续条件，称J(x)为连续线性泛函121212()()(),()()nJxxJxJxxxJxJx0n0n0()(),()xlimJ()()J;JxDJDJxJxxn中点列x收敛到点,有称在处连续最优控制理论与应用2020年2月19日16泛函与函数的几何解释()()()xtxtxt宗量的变分泛函的增量(())(())(())(,)(,)JxJxxJxLxxrxx泛函的变分(,)LxxJ最优控制理论与应用2020年2月19日17定理2.1泛函的变分为0()JJxx0()Jxx00()()limlimJJxxJx01lim(()())Lxxrxx),()(lim),(0xxLxxxxrxxL最优控制理论与应用2020年2月19日18例2.1求泛函的变分f0tL(,,)dtJxxttf0f0t0t()L(,,)dLL()dttJJxxxxxxttxxtxx1202100010010J=x(t)()()d2()d2ddtJJxxxxtxxxtxxt例：求的变分最优控制理论与应用2020年2月19日19泛函的极值0][0xxJJ定理2.2若泛函)(xJ有极值，则必有0J***0x||x-x||J(x)J(x)J(x)xx，满足，同号则在处有极值最优控制理论与应用2020年2月19日20变分学预备定理1001tT01t01(t)[t,t](t)n(t)(t)0,(t)(t)dt0,(t)0t[t,t]设向量在上连续，为任意维向量函数，且若则必有，最优控制理论与应用2020年2月19日212.2欧拉方程(1)无约束泛函极值的必要条件定理2.3设有如下泛函极值问题：f0tx(t)min(())L(,,)dtJxxxttLdL0xdtx0f0fn*00ffL(x,x,t)x(t)[t,t]ttx(t)x,x(t)x,x(t),x(t)其中，及在上连续可微，及给定。已知则极值轨线满足如下欧拉方程及横截条件f0TTtft0LL|x(t)|x(t)0xx最优控制理论与应用2020年2月19日222.2欧拉方程LdL0dxtx0LL()dTtJxxtxx变分f0ttf0tLdLL[()]ddtJxtxxtxx分部积分xf0t0tf0tLdL()d0dtJxtxtx证明：最优控制理论与应用2020年2月19日23例2.2求平面上两固定点间连线最短的曲线0t2(())1()dftJxxtt21()Lxt，dd0ddLLLxtxtx2d20d1xtxcxx21atx)(battx)(直线最优控制理论与应用2020年2月19日24例2.3：已知边界条件为求使泛函达到极值的轨线解：2220min(())((t)())dJxxxtt(0)0,()2,2xx*()xt221212(t)()2(2())22()0(t)=ccos()csin():x(0)0,x(/2)2c=0c=2LxxtLdLdxxtxxtxdtxdttt*求得通解为:x代入边界条件得，；则：x(t)=2sin(t)最优控制理论与应用2020年2月19日252.2欧拉方程(2)有等式约束泛函极值的必要条件定理2.4设有如下泛函极值问题：f0tx(t)min(())g(,,)d..(,,)0tJxxxttstfxxtLdL0xdtxL(,,)(,,)LTgxxtfxxt其中为拉格朗日函数，为-乘子0f0fn*00fff=0g(x,x,t)x(t)[t,t]ttxxfx(t)x,x(t)x,x(t),x(t)nR其中，为系统运动的微分方程，及在上连续可微，及给定。，，已知则极值轨线满足如下欧拉方程及横截条件f0TTtft0LL|x(t)|x(t)0xx最优控制理论与应用2020年2月19日26例2.4：设人造地球卫星姿态控制系统的状态方程为220**010()()()001()10(0),(2)10()().xtxtututdtxxxtut1指标泛函取J=2边界条件为试求是指标泛函去极值的极值轨线和极值控制最优控制理论与应用2020年2月19日272.3横截条件f0TTtft0LL|x(t)|x(t)0xx（*）f0000tt,,(),()()()0LL|0|0xxfffttxtxtxtxt设定任意变化时，（*）式化为：，0L,[L()]0fftttxxff设定自由,且x(t)=(t)时,讨论：A.B.C.D.0000,(),()()()0ffffttxtxxtxxtxt设定时，时，，(*)式显然成立0L,[L]0fftttxxf设定自由,且x(t)自由时,最优控制理论与应用2020年2月19日28左端固定右端沿曲线变动[()]0ftLLxx横截条件C的推导最优控制理论与应用2020年2月19日2900(,,)d|fftttJFxxxxtt00d()ddfffttttftLLLxtxLtxtxx00ffttfLJxLtx()[()]0ffftftfftLLxtLtLxtxx最优控制理论与应用2020年2月19日3020(())1()dftJxxtt例2.5设性能指标泛函末值时刻ft未定，已知*(0)1,()2,Jffxxtt*f求使泛函为极值的最优轨线x(t)及相应的t和，dd0ddLLLxtxtxbattx)(解：由欧拉方程得由x(0)=1求出b=1；由横截条件知22[()][1(1)]|01ffttLxLxxxxx最优控制理论与应用2020年2月19日31**()1.()aa1()1()()120.5,0.707fffffffxtxtxttttxtctttt*解得因为，所以有，从而最优轨线为当时，最优时刻为带入指标泛函可得J最优控制理论与应用2020年2月19日322.4含有多个未知函数泛函的极值泛函0111(,)(,,;,,;)dTnnntJxxLxxxxtt欧拉方程d0diiLLxtxd0dLLxtx边界值,00,()1,2,,()1,2,,ffitiittitxtxinxtxin00ttxxfftttxx[()]0ftLLxx横截条件最优控制理论与应用2020年2月19日332.5条件极值状态方程0),,(txxf泛函