高中数学必修五求数列通项公式2附经典例题和详细答案

数列专项-3类型Ⅴ构造数列法：㈠形如qpaann1（其中,pq均为常数且0p）型的递推式：（1）若1p时，数列{na}为等差数列;（2）若0q时，数列{na}为等比数列;（3）若1p且0q时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设1()nnapa,展开移项整理得1(1)nnapap,与题设1nnapaq比较系数（待定系数法）得1,(0)()111nnqqqpapappp1()11nnqqapapp,即1nqap构成以11qap为首项，以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出1nqap的通项整理可得.na法二：由qpaann1得1(2)nnapaqn两式相减并整理得11,nnnnaapaa即1nnaa构成以21aa为首项，以p为公比的等比数列.求出1nnaa的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出.na例10.在数列an中，21a，且231nnaa，求数列na的通项公式。例11.在数列an中，121a，且3321nnaa，求数列na的通项公式。㈡形如1()nnapafn(1)p型的递推式：⑴当()fn为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设1(1)nnaAnBpaAnB，通过待定系数法确定AB、的值，转化成以1aAB为首项，以p为公比的等比数列naAnB，再利用等比数列的通项公式求出naAnB的通项整理可得.na法二：当()fn的公差为d时，由递推式得：1()nnapafn，1(1)nnapafn两式相减得：11()nnnnaapaad，令1nnnbaa得：1nnbpbd转化为类型Ⅴ㈠求出nb，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出.na例12.在数列an中，21a，且2431naann，求数列na的通项公式。⑵当()fn为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设1()(1)nnafnpafn，通过待定系数法确定的值，转化成以1(1)af为首项，以p为公比的等比数列()nafn，再利用等比数列的通项公式求出()nafn的通项整理可得.na法二：当()fn的公比为q时，由递推式得：1()nnapafn——①，1(1)nnapafn，两边同时乘以q得1(1)nnaqpqaqfn——②，由①②两式相减得11()nnnnaaqpaqa，即11nnnnaqapaqa，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出.na法三：递推公式为nnnqpaa1（其中p，q均为常数）或1nnnaparq（其中p，q,r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以1nq，得：qqaqpqannnn111，引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。例13.在数列an中，21a，且nnnaa231，求数列na的通项公式。⑶当()fn为任意数列时，可用通法：在1()nnapafn两边同时除以1np可得到111()nnnnnaafnppp，令nnnabp，则11()nnnfnbbp，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出nb之后得nnnapb.例14.在数列an中，21a，且naann31，求数列na的通项公式。类型Ⅵ对数变换法：形如1(0,0)qnnapapa型的递推式：在原递推式1qnapa两边取对数得1lglglgnnaqap，令lgnnba得：1lgnnbqbp，化归为qpaann1型，求出nb之后得10.nbna（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。例15.已知数列an满足513nnaa，71a，求数列na的通项公式。例16.已知数列an满足5132nnnaa，71a，求数列na的通项公式。类型Ⅶ倒数变换法：形如11nnnnaapaa（p为常数且0p）的递推式：两边同除于1nnaa，转化为111nnpaa形式，化归为qpaann1型求出1na的表达式，再求na；还有形如1nnnmaapaq的递推式，也可采用取倒数方法转化成111nnmmaqap形式，化归为qpaann1型求出1na的表达式，再求na.例17.已知数列an满足311a，)2(11naaaannnn，求数列na的通项公式。例18.已知数列an满足11a，1311nnnaaa，求数列na的通项公式。类型Ⅷ形如nnnqapaa12型的递推式：法一：用待定系数法，化为特殊数列}{1nnaa的形式求解。方法为：设)(112nnnnkaahkaa，比较系数得qhkpkh,，可解得hk、，于是1{}nnaka是公比为h的等比数列，这样就化归为qpaann1型。法二：可用特征方程的方法求解：我们称方程：x2-Ax-B=0为数列的特征方程（i）当方程有两个相异的实根（或虚根）p、q时，有：nnnqcpca21，其中c1与c2由已知的a1、a2确定。（ii）当方程有唯一的实根p时，有nnpcnca)(21其中c1与c2由已知的a1、a2确定。例19.已知nnnaaaaa12212,3,2，求na的通项公式。例20.已知nnnaaaaa23,3,21221，求na的通项公式。类型IX不动点法为了求出递推数列dtcbtatnnn1的通项，我们先给出如下两个定义：定义1：若数列{nt}满足)(1nntft，则称)(xf为数列{nt}的特征函数.定义2:方程)(xf=x称为函数)(xf的不动点方程，其根称为函数)(xf的不动点.下面分两种情况给出递推数列dtcbtatnnn1通项的求解通法.(1)当c=0,时,由dtcbtatnnn1dbtdatnn1,记kda,cdb，则有ctktnn1（k≠0）,∴数列{nt}的特征函数为)(xf=kx+c,由kx+c=xx=kc1,则ctktnn1)1(11kctkkctnn∴数列}1{kctn是公比为k的等比数列,∴11)1(1nnkkctkct11)1(1nnkkctkct.(2)当c≠0时,数列{nt}的特征函数为：)(xf=dxcbxa由xdxcbxa0)(2bxadcx设方程0)(2bxadcx的两根为x1,x2,则有:0)(121bxadcx,0)(222bxadcx∴12)(1xadcxb……(1)222)(xadcxb……(2)又设212111xtxtkxtxtnnnn(其中,n∈N*,k为待定常数).由212111xtxtkxtxtnnnn2121xtxtkxdtcbtaxdtcbtannnnnn212211xtxtkdxtcxbatdxtcxbatnnnnnn……(3)将(1)、（2）式代入(3)式得:2122221121xtxtkaxtcxcxataxtcxcxatnnnnnn212211))(())((xtxtkxtcxaxtcxannnn21cxacxak∴数列{21xtxtnn}是公比为21cxacxa(易证021cxacxa)的等比数列.∴21xtxtnn=1212111ncxacxaxtxt12121111212111211nnncxacxaxtxtcxacxaxtxtxxt.例21.已知数列{an}中，a1=3，1241nnnaaa，求{an}的通项。例22.已知数列{an}中，a1=2，3121nnaa，求{an}的通项。总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式.na答案详解例10.)(13Nnann例11.)(9)32(31Nnann例12.)(2232Nnnann例13.)(2-341-Nnannn例14.)(41231211Nnnann例15.)(37415511Nnannn例16.)(237415161511Nnannnn例17.)(21Nnnan例18.)(231Nnnan例19.)(1Nnnan例20.)(121Nnann例21.)(323221212Nnannnnn例22.)(1)32(1Nnann数列专项3-巩固习题一、选择填空1.（2010全国卷2）(6)如果等差数列na中，3a+4a+5a=12，那么1a+2a+•••…+7a=（A）14(B)21(C)28(D)352.（2010安徽）(5)设数列{}na的前n项和2nSn，则8a的值为（A）15(B)16(C)49（D）643.(2011年高考四川)数列na的首项为3，nb为等差数列且1(*)nnnbaanN.若则32b，1012b，则8a(）A）0（B）3（C）8（D）114.(2011年高考全国卷设nS为等差数列na的前n项和，若11a，公差2d，242kkSS，则kA）8（B）7（C）6（D）55.（2009广东卷理）已知等比数列{}na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n时，2123221logloglognaaaA.(21)nnB.2(1)nC.2nD.2(1)n6.（2009陕西卷）设等差数列na的前n项和为ns,若6312as,则na7.(2011广东卷)等差数列na前9项的和等于前4项的和.若141,0kaaa，则k8.1,13111aaaannn则其通项为9（2009宁夏海南卷理）等差数列{na}前n项和为nS。已知1ma+1ma-2ma=0，21mS=38,则m=_______10.重庆卷理）设12a，121nnaa，21nnnaba，*nN，则数列nb的通项公式nb=二．、解答题二、解答题11．等差数列na是递增数列，前n项和为nS，且931,,aaa成等比数列，255aS．求数列na的通项公式.12已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn．求数列na的通项公式。13已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。14已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。15已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。16知数列{}na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，，求数列{}na的通项公式。17已知数列{}na满足111(14124)116nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。18已知数列{}na满足1172223nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。答案详解1.【答案】C【解析】本题考查了数列的基础知识。∵34512aaa，∴44a1271741