中值定理

科学出版社§4.1中值定理科学出版社费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.科学出版社费马(fermat)引理罗尔(Rolle)定理且存在)(或证:设则00xyo0x科学出版社罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使.0)(fxyoab)(xfy证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点科学出版社则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使.0)(f注意:则由费马引理得1)定理中的可能不唯一.2)连续光滑曲线在其“峰”和“谷”处必有水平切线.科学出版社点击图片任意处播放\暂停变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.ab12xyo)(xfy.,水平的在该点处的切线是点上至少有一在曲线弧CABC几何解释:物理解释:科学出版社)定理条件不全具备,结论不一定成立.例如,x1yox1yo1x1yo科学出版社)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且)(limxfax)(limxfbx在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.科学出版社证明方程,15)(5xxxf,0)(0xf有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则)(xf在[0,1]连续,且由介值定理知存在,)1,0(0x使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有在以)(xf10,xx为端点的区间满足罗尔定理条件,之间在10,xx至少存在一点但矛盾,故假设不真!设科学出版社不求函数)5)(4)(3)(2)(1()(xxxxxxf的导数，说明0)('xf有几个实根。解因为又)5()4()3()2()1(fffff)(xf]5,4[],4,3[],3,2[],2,1[故在上均满足罗尔定理条件，因而至少存在),5,4(),4,3(),3,2(),2,1(4321)(xfy0C),(),(,且在可导使得,0)(1f,0)(2f,0)(3f,0)(4f即至少有4个实根。0)('xf又因为)('xf为4次多项式，至多有4个实根，所以0)('xf恰有4个实根。科学出版社【联想】设nnnnnaxaxaxaxaxf122110...)(有n个实根nxxx,...,21，问：①0)('xf有几个实根？②0)(''xf有几个实根？③0)()1(xfn有几个实根？【练习】求证方程0)2)(1()3)(1()3)(2()3)(2)(1(xxxxxxxxxxxx恰有三个实根．科学出版社拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.科学出版社若（1）函数f(x)在闭区间],[ba上连续,（2）)(xf在开区间),(ba内可导,则在),(ba内至少有一点)(ba，使得))(()()('abfafbf).()(bfaf去掉了与罗尔定理相比条件中).()()(fabafbf结论亦可写成拉格朗日（Lagrange）中值定理定理注意二、拉格朗日(Lagrange)中值定理科学出版社2xxoy)(xfyABCDNM.,ABCAB线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧证分析:).()(bfaf条件中与罗尔定理相差弦AB方程为).()()()(axabafbfafy,)(ABxf减去弦曲线.,两端点的函数值相等所得曲线ba几何解释:科学出版社作辅助函数)].()()()([)()(axabafbfafxfxF,)(满足罗尔定理的条件xF.0)(,),(Fba使得内至少存在一点则在0)()()(abafbff即).)(()()(abfafbf或拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.科学出版社),()(内可导在在设baxf).10()()()(000xxxfxfxxf则有),,(,00baxxx).10()(0xxxfy也可写成.的精确表达式增量y拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论.)(,)(上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数IxfIxf科学出版社证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:),(x,2cotarcarctanxx经验:欲证Ix时,)(0Cxf只需证在I上,0)(xf,0Ix且.)(00Cxf使科学出版社证明不等式证:设,)1ln()(ttf中值定理条件,即因为故.)0()1ln(1xxxxx因此应有科学出版社柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,科学出版社三、柯西(Cauchy)中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足:)()(aFbF))((abFba0要证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx科学出版社证:作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,],[)(内可导在上连续在则babax且使即由罗尔定理知,至少存在一点.)()()()()()(FfaFbFafbf思考:柯西定理的下述证法对吗?),(,))(()()(baabfafbf),(,))(()()(baabFaFbF两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.科学出版社)(1F)(2FXoY)()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.)),(),((ABfFCAB弦该点处的切线平行于在一点上至少有在曲线弧另证作辅助函数)].()([)()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx,)(满足罗尔定理的条件x.0)(,),(使得内至少存在一点则在ba几何解释:科学出版社)()()()()()(FaFbFafbff即.)()()()()()(FfaFbFafbf.0)(,),(使得内至少存在一点则在ba,)(xxF当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf科学出版社柯西定理的几何意义:)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:xyo弦的斜率切线斜率科学出版社设函数)(xf],[0baC),,0(axa(,)ab在内可导，)(xf(,)ababfafbfln)()()(证明使得分析将要证的结论变成1)(lnln)()(fabafbf不难看出这正是柯西定理的形式。,ln)(xxg证令)(xf)(xgba,则和在上满足柯西定理条件，科学出版社因而有(,)ab，使得1)(lnln)()(fabafbf即abfafbfln)()()(科学出版社)0()1(FF例6.设,)(2xxF至少存在一点使证:结论可变形为设则)(,)(xFxf在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使)(F01即证明科学出版社),1(,)()()1()()1()(eFfFeFfef例6.试证至少存在一点使证:法1用柯西中值定理.xxFxxfln)(,lnsin)(则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此11lncos即分析:科学出版社)(则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使xlncos)(xf1sinx1因此存在x1xln1sin科学出版社微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(费马引理科学出版社微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数科学出版社)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值._____2)设有个根,它们分别在区间34153)4,3(,)2,1(,)3,2(上.方程思考题科学出版社设],,0[)(Cxf且在),0(内可导,证明至少存在一点,),0(使.cot)()(ff提示:由结论可知,只需证即0sin)(xxxf验证)(xF在],0[上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(科学出版社若)(xf可导,试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点.提示:设,,0)()(2121xxxfxf欲证