高中数学公式总结【全】【31-33】

专题六：排列组合与二项式定理1、基本计数原理⑴分类加法计数原理：(分类相加)做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法……在第n类办法中有nm种不同的方法.那么完成这件事情共有nmmmN21种不同的方法.⑵分步乘法计数原理：(分步相乘)做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有1m种不同的方法，做第二个步骤有2m种不同的方法……做第n个步骤有nm种不同的方法.那么完成这件事情共有nmmmN21种不同的方法.2、排列与组合⑴排列定义：一般地，从n个不同的元素中任取nmm个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个排列.⑵组合定义：一般地，从n个不同的元素中任取nmm个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个组合.⑶排列数：从n个不同的元素中任取nmm个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的排列数，记作mnA.⑷组合数：从n个不同的元素中任取nmm个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的组合数，记作mnC.⑸排列数公式：①121mnnnnAmn!mnnAmn！；②!nAnn，规定1!0.⑹组合数公式：①!121mmnnnnCmn或!!mnmnCmn！；②mnnmnCC，规定10nC.⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.⑻排列与组合的联系：mmmnmnACA，即排列就是先组合再全排列.(1)(1)!()(1)21!!mmnnmmAnnnmnCmnAmmmnm⑼排列与组合的两个性质性质排列11mnmnmnmAAA；组合11mnmnmnCCC.⑽解排列组合问题的方法①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）.⑤有序问题组合法.⑥选取问题先选后排法.⑦至多至少问题间接法.⑧相同元素分组可采用隔板法.⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！.3、二项式定理⑴二项展开公式：011222nnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabnnnCbnN.⑵二项展开式的通项公式：NnNrnrbaCTrrnrnr,,01.主要用途是求指定的项.⑶项的系数与二项式系数项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数.如在()naxb的展开式中，第1r项的二项式系数为rnC，第1r项的系数为rnrrnCab；而1()nxx的展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定为正.⑷nx1的展开式：0221101xCxCxCxCxnnnnnnnnn，若令1x，则有nnnnnnnCCCC210211.二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即131202nnnnnCCCC⑸二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mnnmnCC；（2）增减性与最大值：当12nr时，二项式系数Crn的值逐渐增大，当12nr时,Crn的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第2n＋1项）的二项式系数2nnC取得最大值.当n为奇数时，中间两项（第21n和21n＋1项）的二项式系数1122nnnnCC相等并同时取最大值.⑹系数最大项的求法设第r项的系数rA最大，由不等式组11rrrrAAAA可确定r.⑺赋值法若2012()...,nnnaxbaaxaxax则设()().nfxaxb有：①0(0);af②012...(1);naaaaf③0123...(1)(1);nnaaaaaf④0246(1)(1)...;2ffaaaa⑤1357(1)(1)....2ffaaaa专题七：随机变量及其分布1、基本概念⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件ABC、、，其中任何两个都是互斥事件，则说事件ABC、、彼此互斥.当AB、是互斥事件时，那么事件AB发生（即AB、中有一个发生）的概率，等于事件AB、分别发生的概率的和，即()()()PABPAPB.⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A的对立事件通常记着A.对立事件的概率和等于1.()1()PAPA.特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.⑶相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.当AB、是相互独立事件时，那么事件AB发生（即AB、同时发生）的概率，等于事件AB、分别发生的概率的积.即()()()PABPAPB.若A、B两事件相互独立，则A与B、A与B、A与B也都是相互独立的.⑷独立重复试验①一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.②独立重复试验的概率公式如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个试验恰好发生k次的概率()(1)0,12,.,kknknnPknkCpp知识结构⑸条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B发生的概率.公式：()(),()0.()PABPBAPAPA2、离散型随机变量⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量奎屯王新敞新疆随机变量常用字母,,,XY等表示.⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.⑶连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.若X是随机变量，(,YaXbab是常数）则Y也是随机变量奎屯王新敞新疆并且不改变其属性（离散型、连续型）.3、离散型随机变量的分布列⑴概率分布（分布列）设离散型随机变量X可能取的不同值为12,xx，…，ix，…，nx，X的每一个值ix（1,2,,in）的概率()iiPXxp，则称表X1x2x…ix…nxP1p2p…ip…np为随机变量X的概率分布，简称X的分布列.性质：①0,1,2,...;ipin②11.niip⑵两点分布如果随机变量X的分布列为则称X服从两点分布，并称(1)pPX为成功概率.⑶二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是()(1).kknknPXkCpp其中0,1,2,...,,1knqp，于是得到随机变量X的概率分布如下：X01…k…nP00nnCpq111nnCpq…kknknCpq…0nnnCpq我们称这样的随机变量X服从二项分布，记作pnBX,~，并称p为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；②重复性：即试验是独立重复地进行了n次;③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；⑵二项分布中的参数是,,.pkn⑷超几何分布一般地,在含有M件次品的N件产品中，任取n件,其中恰有X件次品数,则事件Xk发生的概率为()(0,1,2,,)knkMNMnNCCPXkkmC,于是得到随机变量X的概率分布如下：其中min,mMn,*,,,,nNMNnMNN≤≤.我们称这样的随机变量X的分布列为超几何分布列,且称随机变量X服从超几何分布.注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；⑵超几何分布中的参数是,,.MNn其意义分别是总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.4、离散型随机变量的均值与方差⑴离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为X1x2x…ix…nxP1p2p…ip…np则称1122iinnEXxpxpxpxp为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.X01P1ppX01…mP00nMNMnNCCC11nMNMnNCCC…mnmMNMnNCCC