2.3离散型随机变量的均值与方差

2.3离散型随机变量的均值和方差高二数学选修2-3一、复习回顾1、离散型随机变量的分布列XP1xix2x······1p2pip······2、离散型随机变量分布列的性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．复习引入对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.二、互动探索1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；（1）设他所得环数为X,求X的分布列(2)求他所得的平均环数是多少？2104332221111)2(X（1）环数为X的可能所取的值为什么，1，2，3，4，其分布列X1234P10410310210121014102310321041X权数加权平均1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；（1）设他所得环数为X,求X的分布列(2)求他所得的平均环数是多少？一、离散型随机变量取值的平均值数学期望一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：nniipxpxpxpxEX2211则称为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。P1xix2x······1p2pip······nxnpX1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则Eξ=.2、随机变量ξ的分布列是2.4ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,则a=b=.0.40.1则P(Y)=P(aX+b)=P(X=xi)=pi,i=1,2,3,………pn……p2p1P……axn+b……ax2+bax1+bY(2)E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn若Y=aX+b，其中a,b为常数，X为随机变量;(1)写出随机变量Y的分布列；(2)求Y的均值。解:(1)由题意,知Y也为随机变量,所以，Y的分布列为：=a(x1p1+x2p2+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pn)=aE(X)+b即E(aX+b)=aE(X)+b7.03.007.01例1篮球比赛中,罚球命中一次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次的得分X的均值是多少?解:3.0)0(,7.0)1(XPXP)0(0)1(1XPXPEX于是有若X服从二点分布，一般地，如果随机变量X服从二点分布，那么E(X)=1×p+0×(1-p)=p则E(X)=p.若X~B(n,p)若X服从二项分布，则E(X)=nP。得则由,11CCknknnkknknkknqpkXEC0)()1(11111knknkknqpnpCknknkknqpnpC1101np归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤：①、确定离散型随机变量可能的取值。②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。③、求出均值(期望)。1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2分布列如下：从以数据你能否说明谁的射击水平高？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解9,921EXEX表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，2.有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢10元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场赌博对你是否有利?11111030.6236E对你不利!劝君莫参加赌博.X10-30P6121313、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？X182436P解：把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：636261)/(23613631242118kgX元不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是和η,则ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，所以Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?例3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:方案1:运走设备,搬运费3800元;方案2:建保护围墙,建设费为2000元.但围墙只能防小洪水.方案3:不采取措施.试比较哪一种方案好?解:用X1,X2和X3分别表示三种方案的损失采用第1种方案,无论有无洪水,都损失3800元,即X1=3800采用第2种方案,遇到大洪水时,损失2000+60000=62000元;没有大洪水时,损失2000元,即，无大洪水，有大洪水2000620002X，无洪水，有小洪水；有大洪水；010000,600003X于是,E(X2)=62000×P(X2=62000)+2000×P(X2=2000)E(X1)=3800,E(X3)=60000×P(X3=60000)+10000×P(X3=10000)+0×P(X3=0)采用第3种方案,有方案3:不采取措施.=62000×0.01+2000×(1-0.01)=2600=60000×0.01+10000×0.25=3100显然,采取方案2的损失最小,所以可以选择方案2.所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的．值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，1．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则Eξ值的是()A．4B．4.5C．4.75D．52．若随机变量X服从二项分布B4，13，则EX的值为()A.43B.83C.133D.893．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且Eξ＝3，则P(ξ＝1)的值是()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.64BAC4．已知X的概率分布如下，E(X)＝7.5，则a＝________.X4a910P0.30.1b0.274Ck5．若随机变量X的分布列是P(x＝k)＝·0.1k·0.94－k，k＝0,1，2,3,4.则EX＝________.0.4离散型随机变量的均值的理解(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．(2)E(X)是一个实数，是由X的概率分布唯一确定的，它描述X取值的平均状态．(3)变量Y＝aX＋b的均值．E(aX＋b)＝aE(X)＋b说明随机变量X的线性函数Y＝aX＋b的均值(或数学期望)等于随机变量X的均值(或数学期望)的线性函数，此式可有以下几种特殊形式：离散型随机变量的方差三维目标:1.通过实例理解离散型随机变量方差的概念，能计算简单离散型随机变量的方差．2.理解离散型随机变量方差的性质并掌握两点分布、二项分布的方差．3.会利用离散型随机变量的方差，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题.教学重难点：重点：离散型随机变量方差的概念与计算方法难点：离散型随机变量方差的性质及应用题教学时间：2012年5月7日第十四周星期一课题：离散型随机变量的方差温故而知新1、离散型随机变量X的均值（数学期望）1niiiEXxp2、均值的性质()EaXbaEXb3、两种特殊分布的均值（1）若随机变量X服从两点分布，则EXp（2）若，则~(,)XBnpEXnp反映了离散型随机变量取值的平均水平.要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为1X1XP56789100.030.090.200.310.270.10第二名同学击中目标靶的环数的分布列为2X2XP567890.010.050.200.410.33请问应该派哪名同学参赛？1,EX2EX88发现两个均值相等因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.探究（1）分别画出的分布列图.12,XXO5671098P1X0.10.20.30.40.5O56798P2X0.10.20.30.40.5（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？第二名同学的成绩更稳定.怎样刻画随机变量的稳定性？对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的.一组数据的方差：方差反映了这组数据的波动情况在一组数：x1,x2,…,xn中，各数据的平均数为，则这组数据的方差为：x2222121[()()()]nSxxxxxxn类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.新课离散型随机变量取值的方差和标准差:22211()()()iinnDxEpxEpxEp则称为随机变量的方差.21()niiixEp一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：P1xix2x······1p2pip······nxnp称D为随机变量的标准差.定义注意：它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小,即越集中于均值,稳定性越大练习1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.1XP56789100.030.090.200.310.270.102XP567890.010.050.200.410.33102115(8)()iDXiPXi92225(8)()iDXiPXi因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？1.50,0.82随机变量X的方差与X可能取值的方差相同吗X的分布列可能取值的方差为XX8912P61263696112629638EX261)912(62)99(63)98(222DX310])912()99()98[(31222DX随机变量X的方差与X可能取值的方差何时相等X的分布列X8912P3131313293112319318EX31)32912(31)3299(31)3298(222DX可能取值的方差为X])32912()3299()3298[(31222DX随机变量的方差与样本的方差有何区别和联系课本P66①随机变量的方差是常数,样本的方差是随机变量;②对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差样本离散型随机变量均值公式意义方差或标准差公式意义nii=11x=xnipnii=1E(X)=x随着不同样本值的变化而变