高三一轮复习二项式定理

二项式定理考点考纲要求考查角度二项展开式的通项会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题利用通项求展开式的一些特殊项，如：求指定项或已知某项求指数n等二项式系数与展开式的系数会用二项式定理求某项的二项式系数或展开式系数；会用赋值法求系数之和考查“项的系数”与“二项式系数”的区别；考查赋值法求部分系数的和1．二项式定理(1)试写出二项式定理的展开式．(2)其通项公式是什么？二项式系数是什么？提示：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)提示：Tr＋1＝Crnan－rbr,表示第r＋1项;Crn(r＝0,1,…，n)温馨提醒：(1)二项式的展开式共有n＋1项，Cknan－kbk是第k＋1项，即k＋1是项数，Cknan－kbk是项．(2)通项是Tk＋1＝Cknan－kbk(k＝0，1，2，…，n)．其中含有Tk＋1，a，b，n，k五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．(3)在Tk＋1＝Cknan－kbk中，Ckn就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；而Tk＋1项的系数是指化简后字母外的数．2．二项式系数的性质1．(x＋2x2)n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n等于()A．6B．8C．10D．12C2．(2013·高考江西卷)x2－2x35展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－403．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A．－4B．－3C．－2D．－1CD4．(2014·深圳市调研考试)若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a3＝________．5．若C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2Cn－1n＋3n－1＝85，则n的值为________．804(1)(2013·高考天津卷)x－1x6的二项展开式中的常数项为________；(2)(2013·高考安徽卷)若(x＋a3x)8的展开式中，x4的系数为7，则实数a＝________.二项展开式中的特定项或特定项的系数1215(3)(2014·安徽合肥市质量检测)已知a＝0π2(sin2x2－12)dx，则(ax＋12ax)9的展开式中，关于x的一次项的系数为________．[课堂笔记]－6316【解析】(1)x－1x6的展开式通项为Tr＋1＝(－1)rCr6x6－r·1xr＝(－1)rCr6x6－32r，令6－32r＝0，解得r＝4，故常数项为(－1)4C46＝15.(2)含x4的项为C38x5(a3x)3＝C38a3x4，∴C38a3＝7，∴a＝12.(3)a＝∫π20(sin2x2－12)dx＝∫π20(1－cosx2－12)dx＝∫π20(－cosx2)dx＝－12.此时二项式的展开式的通项为Tr＋1＝Cr9(－12x)9－r(－1x)r＝Cr9(－12)9－r·(－1)rx9－2r，令9－2r＝1，r＝4，所以关于x的一次项的系数为C49(－12)9－4·(－1)4＝－6316.求二项展开式中的项或项的系数的方法：(1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．(2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围．1．(1)(2014·东北三校联考)若(x－123x)n的展开式中第四项为常数项，则n＝()A．4B．5C．6D．7B(2)(2014·湖北八校联考)设a＝12(3x2－2x)dx，则二项式(ax2－1x)6展开式中的第4项为()A．－1280x3B．－1280C．240D．－240A【解析】(1)由二项展开式可得Tr＋1＝Crn(x)n－r·(－123x)r＝(－1)r2－rCrnxn－r2x－r3，从而T4＝T3＋1＝(－1)32－3C3nxn－52，由题意可知n－52＝0，则n＝5.(2)由微积分基本定理知a＝4，(4x2－1x)6展开式中的第4项为T3＋1＝C36(4x2)3(－1x)3＝－1280x3.(1)(1＋2x)15的二项展开式中系数最大的项为()A．第8项B．第9项C．第8项和第9项D．第11项(2)(2014·安徽省“江南十校”联考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为()A．1或－3B．－1或3C．1D．－3二项式系数的性质[课堂笔记]DA【解析】(1)Tk＋1＝Ck152kxk，Ck－1152k－1≤Ck152k，Ck＋1152k＋1≤Ck152k⇒293≤k≤323，k＝10，所以第11项的系数最大．(2)令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.(1)二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．(2)求展开式系数最大项：如求(a＋bx)n(a、b∈R)的展开形式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥Ak－1Ak≥Ak＋1，从而解出k值．2．(1)如果(x2－12x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是()A．0B．256C．64D.164(2)(1＋2x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x3与x4项的二项式系数相等，则系数最大项为________．D672x5【解析】(1)法一：由已知得C3nC4n，C3nC2n，即I5n7，∵n∈N*，∴n＝6.令x＝1，则原式＝(1－12)6＝164.法二：由题意知，只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6，令x＝1，则原式＝(1－12)6＝164.(2)由于x3与x4项的二项式系数相等，则n＝7.∴Tk＋1＝Ck7(2x)k，由Ck72k≥Ck＋172k＋1Ck72k≥Ck－172k－1，得133≤k≤163，∴k＝5，∴系数最大项为C57(2x)5＝672x5.(2012·高考湖北卷)设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12二项式定理的综合应用[课堂笔记]D【解析】512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C02012522012－C12012522011＋…＋C20112012×52×(－1)2011＋C20122012×(－1)2012＋a.因为52能被13整除，所以只需C20122012×(－1)2012＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时，应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)与余式的关系及余式的范围．3．求证：3n(n＋2)·2n－1(n∈N*，n2)．【证明】因为n∈N*，且n2，所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．(2＋1)n＝2n＋C1n·2n－1＋…＋Cn－1n·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋12n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，故3n(n＋2)·2n－1(n∈N*，n2)．(2013·高考陕西卷)设函数f(x)＝（x－1x）6，x0，－x，x≥0，则当x0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为()A．－20B．20C．－15D．15二项式定理与函数的交汇A[解析]∵f(x)＝（x－1x）6，x0，－x，x≥0，∴当x0时，f(x)＝－x0，∴f[f(x)]＝f(－x)＝(－x＋1x)6＝(x－1x)6.∴展开式中常数项为C36(x)3(－1x)3＝－C36＝－20.(1)本题为二项式定理与函数的交汇问题，解决本题的关键是当x0时，将f[f(x)]表达式转化为二项式．(2)对二项式定理的考查还常与求定积分交汇，由单一问题变为小综合问题进行考查．(2014·山东潍坊质检)设a＝0π(cosx－sinx)dx，则二项式x2＋ax6展开式中的x3项的系数为()A．－20B．20C．－160D．160C【解析】因为a＝0π(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)π0＝－2，所以二项式x2＋ax6＝x2－2x6，所以展开式的通项公式Tk＋1＝Ck6(x2)6－k－2xk＝Ck6x12－3k·(－2)k，由12－3k＝3，得k＝3，所以T4＝C36x3(－2)3＝－160x3，所以x3项的系数为－160.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()A．9B．8C．7D．6解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，故a0＋a2＋a4＝8。答案：B4．设二项式x－ax6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B。若B＝4A，则a的值是__________。解析：由Tr＋1＝Cr6x6－r－axr＝Cr6(－a)rx6－32r，得B＝C46(－a)4，A＝C26(－a)2，由B＝4A，a＞0，解得a＝2。答案：2考点二二项式系数或各项系数和【例2】(1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b。若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C．7D．8(2)在二项式x2－1xn的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()A．32B．－32C．0D．1解析：(1)由题意可知，a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，又∵13a＝7b，∴13·2m！m！m！＝7·2m＋1！m！m＋1！，即137＝2m＋1m＋1。解得m＝6。故选B项。(2)依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，解得n＝5。因此，该二项展开式中的各项系数的和等于12－115＝0。答案：(1)B(2)C通关特训2(1)x＋ax2x－1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－40B．－20C．20D．40(2)设22＋x2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋…＋a2n－1)2＝__________。D14n解析：(1)令x＝1，得1＋a＝2，∴a＝1。则原式为x＋1x2x－1x5。对2x－1x5求通项Tr＋1＝Cr5·(2x)5－r·－1xr＝(－1)r·25－rCr5·x5－2r。令5－2r＝－1，得r＝3，x－1的系数为(－1)3·22·C35＝－40。令5－2r＝1，得r＝2，x的系数为(－1)2·23·C25＝80与x＋1x相乘可得常数项为40。1.从近几年的高考试题来看，考查的重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数，如求系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围问题等．2．题型以选择题、填空题为主，属于中档题和容易题．3．命题切入点：以考查基本概念、基础知识为目的，以考查通项公式和二项式系数的和为重要考点命题．1.若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，