2012高考数学一轮复习 《算法初步、推理证明与复数》第3课时 合情推理与演绎推理3课件

第3课时合情推理与演绎推理1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.2011·考纲下载1．以选择、填空形式考查合情推理．2．以选择题或解答题的形式考查演绎推理.请注意!课前自助餐课本导读推理•教材回归•1．下面几种推理是合情推理的是()•①由圆的性质类比出球的有关性质；•②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；•③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；•④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.•A．①②B．①③•C．①②④D．①②④•答案C•2．给出下列命题：(1)演绎推理是由一般到特殊的推理；(2)演绎推理得到的结论一定是正确的；(3)演绎推理的一般模式是“三段论”形式；(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．其中正确命题的个数为()•A．1B．2•C．3D．4•答案B•解析演绎推理是由一般到特殊的推理，但是如果前提是错误的，则结论一定错误，其结论的正误与推理的形式无关，其一般模式是“三段论”形式，所以(1)(3)正确．•3．(2010·山东卷，文)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()•A．f(x)B．－f(x)•C．g(x)D．－g(x)•答案D•解析观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，故选D.•4．(2011·郑州一检)将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，它的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”，过三棱锥的顶点及斜面任两边上的中点的截面均称为斜面的“中面”．直角三角形具有性质：“斜边的中线长等斜边边长的一半”，仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：________.•解析在直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一如图所示，在直角三棱锥A­BCD中，AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，E，F分别是棱BC，CD的中点，则有AE＝12BC，AF＝12CD，EF＝12BD，∴AEBC＝AFCD＝EFBD＝12，∴△AEF∽△CBD，∴SΔAEFSΔCBD＝14，即SΔAEF＝14SΔCBD，即在直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．•授人以渔•题型一归纳推理•例1(1)(2011·沧州七校联考)如图是2011年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一呈现出来的图形是()•【解析】该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.•【答案】A(2)设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．【思路分析】由f(x)→计算各和式→得出结论→归纳猜想一般结论→证明【解析】f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝33.证明：设x1＋x2＝1，∵f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝(3x1＋3)＋(3x2＋3)(3x1＋3)(3x2＋3)＝3x1＋3x2＋233x1＋x2＋3(3x1＋3x2)＋3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2)＋2×3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2＋23)＝33.•探究1(1)归纳推理的特点：•①归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．•②归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．•(2)归纳推理的一般步骤：•①通过观察个别情况发现某些相同本质．•②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．•思考题1(2010·陕西卷，理)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．•【解析】观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于右边的底数，右边数的指数均为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.•【答案】13＋23＋33＋43＋53＋63＝212例2(1)在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2.在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？【解析】如图所示，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，所以1AD2＝1BD·DC＝BC2BD·BC·DC·BC＝BC2AB2·AC2，又BC2＝AB2＋AC2，所以1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2.所以1AD2＝1AB2＋1AC2猜想：四面体ABCD中，若AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.(2)(2011·《高考调研》原创题)若2≤a＋b≤41≤a－b≤2，求4a－2b的范围时令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b∴x＋y＝4x－y＝－2⇒x＝1y＝3∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)∴5≤4a－2b≤10类比上述解法，解决下面问题．设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．【解析】由题设知，实数x，y均为正实数，则条件可化为lg3≤lgx＋2lgy≤lg8，lg4≤2lgx－lgy≤lg9，令lgx＝a，lgy＝b，则有lg3≤a＋2b≤3lg22lg2≤2a－b≤2lg3，又设t＝x3y4，则lgt＝3lgx－4lgy＝3a－4b，令3a－4b＝m(a＋2b)＋n(2a－b)，解得m＝－1，n＝2，即lgt＝－(a＋2b)＋2(2a－b)≤－lg3＋4lg3＝lg27，∴x3y4的最大值是27.另解：将4≤x2y≤9两边分别平方得，16≤x4y2≤81，①又由3≤xy2≤8可得，18≤1xy2≤13，②由①×②得，2≤x3y4≤27，即x3y4的最大值是27.【答案】27•探究2(1)首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论．•(2)熟记几种常见类比：图形类比(三角形与四面体，圆与球运算类比)；加与积，乘与乘方，减与除，除与开方．思考题2(1)我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值K，那么甲的面积是乙的面积的k倍，你可以从给出的简单图形①(甲：大矩形ABCD，乙：小矩形：EFCB)，②(甲：大直角三角形ABC，乙：小直角三角形DBC)中体会这个原理，现在图③中的曲线分别是x2a2＋y2b2＝1(ab0)与x2＋y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．【解析】y轴被椭圆和圆所截得的线段之比为ba，那么椭圆面积是圆面积的ba倍，而圆面积为πa2，故椭圆面积是πa2·ba＝πab.【答案】πab(2)若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列{Snn}为等差数列，公差为d2.类似，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{nTn}的公比为()A.q2B．q2C.qD.nq【解析】由题设有，Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bn1q1＋2＋…＋(n－1)＝bn1qn－1n2，∴nTn＝b1qn－12，∴等比数列{nTn}的公比为q，故选C.【答案】C例3(1)用三段论的形式写出下列演绎推理．①若两角是对顶角，则两角相等，所以若两角不相等，则两角不是对顶角；②矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等；③0.3·3·2·是有理数；④y＝sinx(x∈R)是周期函数．【解】①若两个角是对顶角，则两角相等，(大前提)∠1和∠2不相等，(大前提)∠1和∠2不是对顶角．(结论)②每一个矩形的对角线相等，(大前提)正方形是矩形，(小前提)正方形的对角线相等．(结论)③所有的循环小数是有理数，(大前提)0.3·3·2·是循环小数，(小前提)所以0.3·3·2·是有理数．(结论)④三角函数是周期函数，(大前提)y＝sinx是三角函数，(小前提)y＝sinx是周期函数．(结论)(2)如图，点P在已知三角形ABC的内部，定义有序实数对(μ，υ，ω)为点P关于△ABC的面积坐标，其中μ＝△PBC的面积△ABC的面积，υ＝△APC的面积△ABC的面积，ω＝△ABP的面积△ABC的面积；若点Q满足BQ→＝13BC→＋12BA→，则点Q关于△ABC的面积坐标为________．【解析】由点Q满足BQ→＝13BC→＋12BA→可知Q到BC、AC、AB三边的距离分别是三边相应高的12，16，13，所以S△QBC＝12s，S△AQC＝16s，S△AQB＝13s(s为△ABC的面积)．故点Q关于△ABC的面积坐标为(12，16，13)．【答案】(12，16，13)•探究3三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．•思考题3(1)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()•A．使用了归纳推理•B．使用了类比推理•C．使用了“三段论”，但大前提错误•D．使用了“三段论”，但小前提错误•【解析】大前提是特称命题，而小前提是全称命题，故选C.•【答案】C•(2)①证明函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数；•②当x∈[－5，－2]时，f(x)是增函数还是减函数？•【解析】①方法一：任取x1，x2∈(－∞，1]，x1x2，•则f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)，•∵x1x2≤1，∴x2＋x1－20，•∴f(x1)－f(x2)0，f(x1)f(x2)，•于是，根据“三段论”可知，•f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．•方法二：∵f′(x)＝－2x＋2＝－2(x－1)，•当x∈(－∞，1)时，x－10，∴－2(x－1)0，•∴f′(x)0在x∈(－∞，1]上恒成立．•故f(x)在(－∞，1]上是增函数．•②∵f(x)在(－∞，1]上是增函数，•而[－5，－2]是区间(－∞，1]的子区间．•∴f(x)在[－5，－2]上是增函数．本课总结•1．归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明，一般地，考查的个体越多，归纳的结论可靠性越大．在归纳猜想数列的通项公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系．•2．类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚，平面几何中的有关定义、定理、性质、公式可以类比到空间，在学习中要注意通过类比去发现探索新题．课时作业（56）