2012高考数学理专题突破课件第一部分专题一第二讲：函 数

第二讲函数主干知识整合1．函数的单调性对于定义域内某一区间D内任意的x1，x2且x1x2(或Δx＝x1－x20)(1)若f(x1)f(x2)(或Δy＝f(x1)－f(x2)0)恒成立⇔f(x)在D上单调递增．(2)若f(x1)f(x2)(或Δy＝f(x1)－f(x2)0)恒成立⇔f(x)在D上单调递减．2．函数的奇偶性(1)函数y＝f(x)是偶函数⇔y＝f(x)的图象关于y轴对称．函数y＝f(x)是奇函数⇔y＝f(x)的图象关于原点对称．(2)奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且在x＝0处有定义时必有f(0)＝0，即f(x)的图象过(0,0)．(3)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反．3．函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图、用图．(2)作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换法有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数与对数函数的性质指数函数y＝ax(a0，且a≠1)对数函数y＝logax(a0，且a≠1)定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)不变性恒过定点(0,1)恒过定点(1,0)增减性a1时为增函数，0a1时为减函数a1时为增函数，0a1时为减函数奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数图象特征图象始终在x轴上方图象始终在y轴右侧5.函数的零点与方程的根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．6．函数有零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．高考热点讲练函数及其表示例1(1)若f(x)＝1log122x＋1，则f(x)的定义域为()A.－12，0B.－12，＋∞C.－12，0∪(0，＋∞)D.－12，2(2)已知函数f(x)＝x2＋2ax，x≥22x＋1，x2，若f(f(1))3a2，则a的取值范围是________．【解析】(1)由已知得2x＋10，log122x＋1≠0，∴x－12，2x＋1≠1.即x－12且x≠0，∴选C.(2)由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))3a2，则9＋6a3a2，即a2－2a－30，解得－1a3.故填(－1,3)．【答案】(1)C(2)(－1,3)【归纳拓展】求函数定义域的类型和相应方法：(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．(2)对于复合函数求定义域问题，若已知f(x)的定义域[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出．(3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．变式训练1在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当ab时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为________．解析：由题意知f(x)＝x－2，x∈[－2，1]x3－2，x∈1，2]，当x∈[－2,1]时，f(x)∈[－4，－1]；当x∈(1,2]时，f(x)∈(－1,6]，∴当x∈[－2,2]时，f(x)∈[－4,6]．答案：[－4,6](1)(2011年高考课标全国卷)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|函数的图象与性质例2(2)(2011年高考陕西卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是()【解析】(1)∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对．y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C不对．D中y＝2－|x|＝12|x|虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B对．(2)由于f(－x)＝f(x)，所以函数y＝f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以A、C错误；由于f(x＋2)＝f(x)，所以T＝2是函数y＝f(x)的一个周期，D错误．所以选B.【答案】(1)B(2)B【归纳拓展】(1)已知函数解析式选择其对应的图象时，一般是通过研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质以及图象经过的特殊点等来获得相应的图象特征，然后对照图象特征选择正确的图象．(2)求解这类涉及函数性质的多项判断题时，既要充分利用题目的已知条件，进行直接的推理、判断，又要合理地运用函数性质之间的联系，结合已知的结论进行间接的判断．若能画出图象的简单草图，往往会起到引领思维方向的作用．变式训练2(1)设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f(2011)＋f(2012)＝()A．3B．2C．1D．0(2)若f(x)＝axx14－a2x＋2x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．[4,8)C．(4,8)D．(1,8)解析：(1)由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2011)＋f(2012)＝f(670×3＋1)＋f(671×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2011)＋f(2012)＝1＋2＝3.(2)函数f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f(x)在(－∞，1]上的最高点不高于其在[1，＋∞)上的最低点，即a14－a20a≥4－a2＋2，解得a∈[4,8)，故选B.答案：(1)A(2)B基本初等函数例3设二次函数f(x)＝x2＋x＋c(c＞0)，若f(x)＝0有两个实数根x1、x2(x1＜x2)．(1)求正实数c的取值范围；(2)求x2－x1的取值范围．【解】(1)由x2＋x＋c＝0有两个实数根x1、x2(x1＜x2)及c＞0得Δ＝1－4c＞0，c＞0，解得0＜c＜14.即c的取值范围是0，14.(2)由根与系数关系，得x1＋x2＝－1，x1·x2＝c，又x2＞x1，∴x2－x1＝x1＋x22－4x1·x2＝1－4c.∵0＜c＜14，∴0＜x2－x1＜1.即x2－x1的取值范围是(0,1)．【归纳拓展】(1)二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．(2)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．对于幂函数，掌握好考纲中列出的五种常用的幂函数即可．变式训练3已知函数f(x)＝1－42ax＋a(a＞0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域．解：(1)由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，故必有f(0)＝0，即1－42a0＋a＝0，解得a＝2.(2)由(1)知a＝2，代入f(x)得f(x)＝1－22x＋1，由于2x＞0，所以2x＋1＞1,0＜12x＋1＜1,0＜22x＋1＜2，－2＜－22x＋1＜0，－1＜1－22x＋1＜1，即－1＜y＜1，故函数f(x)的值域是(－1,1)．函数的零点例4函数f(x)＝2x－x－2的一个零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【解析】观察函数y＝2x和函数y＝x＋2的图象可知，函数f(x)＝2x－x－2有一个大于零的零点，又f(1)＝1－20，f(2)＝2－20，根据函数零点的存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)上．【答案】B【归纳总结】确定函数零点的常用方法：(1)解方程判定法：若方程易解时用此法．(2)利用零点存在性定理．(3)利用数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的绝对值、分式、指数、对数以及三角等方程多以数形结合法求解．变式训练4若函数f(x)＝log2(x＋1)－1的零点是抛物线x＝ay2的焦点的横坐标，则a＝________.解析：令f(x)＝log2(x＋1)－1＝0，得函数f(x)的零点为x＝1，于是抛物线x＝ay2的焦点的坐标是(1,0)，因为x＝ay2可化为y2＝1ax，所以1a014a＝1，解得a＝14.答案：14考题解答技法例(2011年高考辽宁卷)设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)【答案】D【解析】当x≤1时，由21－x≤2，知x≥0，即0≤x≤1.当x1时，由1－log2x≤2，知x≥12，即x1，所以满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．【得分技巧】要解不等式，要先根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解指数不等式与幂函数不等式，注意取值范围的大前提，然后把两个不等式的解集并起来即可．【失分溯源】本题为与分段函数有关的解不等式问题，在本题中易忽视根据分段条件进行分类讨论，从而导致解错，分类讨论常见的误区有：(1)忽视讨论：由题目信息不能进行正确的分类讨论，如分段函数各段对应关系，指数、对数函数的底数、直线的斜率、等比数列的公比等需要讨论时而忽视．(2)讨论不全：即有丢掉的情况．(3)讨论不规范：讨论的先后顺序，最后结果整合的不规范．变式训练已知函数f(x)＝x2＋ax＋1，x≥1ax2＋x＋1，x1，则“－2≤a≤0”是“f(x)在R上单调递增”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.函数f(x)在R上单调递增的充要条件是－a2≤1a0－12a≥112＋a×1＋1≥a×12＋1＋1，由此解得－12≤a0，由此可知，“－2≤a≤0”是“函数f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件，选B.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放