高三励志材料

《等差数列》教案教学目标：明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教学过程：Ⅰ.复习回顾等差数列定义：an－an－1＝d(n≥2)，等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d(n≥1)，推导公式：an＝am＋(n－m)dⅡ.讲授新课首先，请同学们来思考这样一个问题.问题1：如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A－a＝b－A，即：a＝a＋b2.反之，若A＝a＋b2，则2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a、A、b成等差数列.总之，A＝a＋b2a，A，b成等差数列.如果a、A、b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5＝3＋72，同时还满足5＝1＋92.再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7＝5＋92＝3＋112＝1＋132.看来，a2＋a4＝a1＋a5＝2a3，a4＋a6＝a3＋a7＝2a5依此类推，可得在一等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.下面，我们来看一个实际问题.［例1］梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a1＝33，a12＝110，n＝12.由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即：110＝33＋11d，解得：d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.［例2］已知数列的通项公式为an＝pn＋q，其中p、q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看an－an－1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了.解：取数列{an}中的任意相邻两项an－1与an(n≥2)，an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列，且公差是p.在通项公式令n＝1，得a1＝p＋q，所以这个等差数列的首项是p＋q，公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为：an＝pn＋q（其中p、q是常数）当p＝0时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在y＝q的图象上.当p≠0时，它是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点均在一次函数y＝px＋q的图象上.例如，首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为：an＝2n－1，相应的图象是直线y＝2x－1上的均匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：［例3］已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.解：设此三数分别为x－d、x、x＋d则（x－d）＋x＋（x＋d）＝15（x－d）2＋x2＋（x＋d）2＝83解得x＝5，d＝±2.∴所求三个数列分别为3、5、7或7、5、3.评述：三个数成等差数列时注意其设法.［例4］已知数列{an}为等差数列，a1＝2，a2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？分析：运用递推归纳的思想方法，从特殊中找规律，得到或猜想出一般结论，然后再回到特殊解决问题，这应该是解决本题的一个基本途径.解：原数列的第一项是新数列的第1项，原数列的第二项是新数列的第2＋3＝5项，原数列的第三项是新数列的第3＋2×3＝9项.……原数列的第n项是新数列的第n＋(n－1)×3＝4n－3项.（1）当n＝12时，4n－3＝4×12－3＝45，故原数列的第12项是新数列的第45项.（2）令4n－3＝29，解得n＝8，故新数列的第29项是原数列的第8项.评述：一般地，在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数，构成一个新的等差数列，则新数列的公差为dm＋1，原数列的第n项是新数列的第n＋(n－1)m＝(m＋1)n－m项.［例5］在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28，求{an}的通项公式.分析一：利用等差数列的通项公式求解.解法一：设所求的通项公式为an＝a1＋(n－1)d则（a1＋2d）＋（a1＋7d）＋（a1＋12d）＝12（a1＋2d）（a1＋7d）（a1＋12d）＝28即a1＋7d＝4①（a1＋2d）（a1＋7d）（a1＋12d）＝28②①代入②得（a1＋2d）(a1＋12d)＝7③∵a1＝4－7d，代入③，∴（4－5d）(4＋5d)＝8即16－25d2＝7，解得d＝±35.当d＝35时，a1＝－15，an＝－15＋(n－1)·35＝35n－45当d＝－35时，a1＝415，an＝415＋(n－1)·（－35）＝－35n＋445.分析二：视a3，a8，a13作为一个整体，再利用性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq解题.解法二：∵a3＋a13＝a8＋a8＝2a8，又a3＋a8＋a13＝12，故知a8＝4代入已知得a3＋a13＝8a3·a13＝7解得a3＝1a13＝7或a3＝7a13＝1由a3＝1，a13＝7得d＝a13－a313－3＝7－110＝35.∴an＝a3＋(n－3)·35＝35n－45.由a3＝7，a13＝1，仿上可得：an＝－35n＋445.评述：在解答本题时，首先应注意到{an}是等差数列这个大前提，否则，仅有a3＋a8＋a18＝12及a3a8a13＝28就无法求出a3，a8，a13的具体值；其次，应注意到a3，a8，a13中脚码3，8，13间的关系：3＋13＝8＋8，从而得到a3＋a13＝a8＋a8＝2a8.Ⅲ.课堂练习课本P36练习已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d:(1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？解：设一无穷等差数列为：a1，a2，…，am，am+1，…，an，…若去掉前m项，则新数列为：am+1，…，an，…，即首项为am+1，公差为d的等差数列.（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？解：若设一无穷等差数列为：a1，a2，a3，a4，a5，…，an，…，则取出数列中的所有奇数项，组成的新数列为：a1，a3，a5，…，a2m－1，…即，首项为a1，公差为2d的等差数列.（3）取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？设一无穷等差数列为：a1，a2，a3，…，an，…，则新数列为：a7，a14，a21，…，a7m，…，即首项为a7，公差为7d的等差数列.Ⅳ.课时小结通过本节学习，首先，需掌握等差中项概念，及A＝a＋b2与a，A，b成等差数列的关系，另外，还应注意等差数列的定义、通项公式、性质的灵活应用.Ⅴ.课后作业课本P39习题4，5，6，7你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。（舞低杨柳楼心月歌尽桃花扇底风）我不去想悠悠别后的相逢是否在梦中，我只求此刻铭记那杨柳低舞月下重阁，你翩若惊鸿的身影，和那桃花扇底悄悄探出的半面妆容与盈盈水眸。用宁静的童心来看，这条路是这样的：它在两条竹篱笆之中。篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。你必得一个人和日月星辰对话，和江河湖海晤谈，和每一棵树握手，和每一株草耳鬓厮磨，你才会顿悟宇宙之大、生命之微、时间之贵我一直以来都弄不明白，为什么不管做了多么明智合理的选择，在结果出来之前，谁都无法知道它的对错。到头来我们被允许做的，只是坚信那个选择，尽量不留下后悔而已。看不见的，是不是就等于不存在？记住的，是不是永远不会消失？每一个黄昏过后，大家焦虑地等待，却再也没有等到月亮升起。潮水慢慢平静下来，海洋凝固成一面漆黑的水镜，没有月亮的夜晚，世界变得清冷幽寂．但是，最深的黑夜即将过去，月亮出来了……记忆的冰川在岁月的侵蚀下，渐渐崩塌消融。保持着最初的晶莹的往事，已经越来越稀少。灼灼其华，非我桃花。苍苍蒹葭，覆我其霜。芦荻不美，桃花艳妖。知我怜我，始觉爱呵。只要春天还在我就不会悲哀纵使黑夜吞噬了一切太阳还可以重新回来只要生命还在我就不会悲哀纵使陷身茫茫沙漠还有希望的绿洲存只要明天还在我就不会悲哀冬雪终会悄悄融化春雷定将滚滚而来孤独，寂静，在两条竹篱笆之中，篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。一袭粉色拖地蝶园纱裙，长发垂至脚踝，青丝随风舞动。眸若点漆，水灵动人，冰肤莹彻，气质脱俗，眼波转动间却暗藏睿智锋芒。淡雅如仙，迎风而立的她，宛若来自天堂的。暖有时候猛烈地指责别人说谎，其实是太渴望那消息真实。原来时间也会失误和出现意外，并因此迸裂，在某个房间里留下永恒的片段。尘世里，总有些什么，让我们不自觉地微笑，使我们的坚硬，在一瞬间变得柔软。婴儿的梦呓，幼童的稚语，夕阳下相互搀扶的老人.......那天黄昏，紫岚在栖身的石洞口默黩地注视着落日。余晖变幻着色调，嫣红、水红、玫瑰红，转瞬便消失在天涯尽头；草原被铅灰色的暮霭垄断了，苍茫沉静。孔明灯真的很漂亮，就像是星星流过天河的声音。你既然已经做出了选择，又何必去问为什么选择。原来岁月太长，可以丰富，可以荒凉。能忘掉结果，未能忘掉遇上。我不可抑制地在脑海勾勒这样的景象：黄昏。风。无垠的旷野。一棵树。----就那么一棵树，孤零零的。风吹动它的每一片叶子，每一片叶子，都在骨头里作响。天高路远，是永不能抵达的摸样......孤单时，仍要守护心中的思念，有阴影的地方，必定有光最好的时光，是经由记忆粉饰的过往。我们会不由自主地忘记伤痛，欢天喜地地投向下一个天国。过往的人事，在前行的途中偶尔显身于记忆，又不可挽留地悄然远去。谁也阻止不了忘记的步伐每一次的离别都在夏天，明明是最火热的季节，却承载着最盛大的离别。睡着你的秘密，醒着你的自由。它的篱笆结实而疏朗，有清风徐徐穿过。人生有很多选择，一个选择又决定下个选择，所以，选择的时候只要是自己内心所想的，也值了，怕的就是，明明不愿意，又不得不选择。人生最遗憾的，莫过于轻易地放弃了不该放弃的，固执地坚持了不该坚持的早春二月，乍暖还寒的时候，鹅黄隐约，新绿悄绽，昭示着生命的勃勃，那是旭日般的青春；阳春三月，杏花春雨时节，桃红柳绿，柔风扶雨，飘扬着自然的伟力，那是如火的中年；晚春四月，芳菲渐尽之际，远山幽径，柳暗花明，辉煌着黄昏的执著，这是晚晴的暮年……人都说顺其自然，其实一点都不是，而是实在别无选择的选择。有个地方，名为汴梁，那年桃花肆意，旧年，桃花消散在汴梁。桃花十八年，繁华再现，桃花盛开三千夜，只需花颜亦墨离。那个汴梁有个童谣：桃花屋外飞满天，桃花谷里醉缠绵。桃花屋内冷桃茶，夭夭桃花葬桃恋。问桃花十八为几年，不谈墨离负花颜，江河暗流痴情魂，温柔十里桃花人。竹马青梅，亦是无猜，满眼繁花，只为那十八年的傻傻等候，公子俊秀，书画幔纱，唯有流逝一瞬，继过