2014届高考数学一轮复习 第72讲《直线与圆的位置关系》热点针对课件 理

第72讲直线与圆的位置关系1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的大小是()A．100°B．130°C．50°D．150°B解析：由题设∠BAD＝12∠BOD＝50°，则∠BCD＝180°－∠BAD＝130°，故选B.2．(2013·天津模拟)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为.解析：由已知得∠CBP＝∠ADP，∠BCP＝∠DAP，所以△PBC∽△PDA，所以BCAD＝PBPD＝13.3．如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点，若∠OAM＝25°，则∠APM＝.解析：因为M是弦BC的中点，连接OM，所以OM⊥BC，因为AP是⊙O的切线，连接OP.所以OP⊥AP，所以∠APO＋∠AMO＝180°，所以A，M，O，P四点共圆，所以∠APM＝∠AOM＝90°－∠OAM＝65°.4．(2012·广东省汕头市高三教学质量测评)已知PA是⊙O的切线，切点为A，直线PO交⊙O于B，C两点，AC＝2，∠PAB＝120°，则⊙O的面积为.解析：由弦切角定理，∠PAC＝∠ABC.由∠PAB＝120°，∠CAB＝90°得∠PAC＝∠ABC＝30°.在Rt△ABC中，2R＝BC＝2AC＝2×2＝4，R＝2，S＝πR2＝4π.5．(2012·广东省肇庆第二次模拟)如图，两圆相交于A，B两点，P为两圆公共弦AB上任一点，从P引两圆的切线PC，PD，若PC＝2cm，则PD＝cm.解析：由切割线定理可得，PC2＝PA·PB，PD2＝PA·PB，所以PC2＝PD2，即PC＝PD＝2(cm)．6．(2012·广东卷)如图所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝.解析：连接OA，得∠AOP＝60°，所以OP＝2，PC＝1，所以PA2＝PC×(PC＋2)＝1×3，所以PA＝3.一圆内接四边形的判定与应用【例1】(2012·河南省郑州市第一次质量预测)如图，锐角△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．(1)求证：四点A，I，H，E共圆；(2)若∠C＝50°，求∠IEH的度数．解析：(1)证明：由圆I与边AC相切于点E，得IE⊥AE，结合IH⊥AH，得∠AEI＝∠AHI＝90°，所以，四点A，I，H，E共圆．(2)由(1)知四点A，I，H，E共圆，得，∠IEH＝∠HAI，在△HIA中，∠HIA＝∠ABI＋∠BAI＝12∠ABC＋12∠A＝12(∠ABC＋∠A)＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C，结合IH⊥AH，得∠HAI＝90°－∠HIA＝12∠C，所以∠IEH＝12∠C，由∠C＝50°，得∠IEH＝25°.【拓展演练1】如图，已知CA，CB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OC交直线AB于D，OF垂直于CF于F，交直线AB于E，求证：OD·OC＝OE·OF＝OA2.证明：因为AC，BC是⊙O的切线，A，B为切点，所以OC⊥AB于D.在△COA中，∠CAO＝90°，故OA2＝OD·OC.又OF⊥CF于F，故∠CDE＝∠EFC＝90°，故D，C，E，F四点共圆，所以OD·OC＝OE·OF，所以有OD·OC＝OE·OF＝OA2.二切割线定理及应用【例2】(2012·东北四校第一次模拟)如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.证明：(1)因为PE，PB分别是⊙O2的割线，所以PA·PE＝PD·PB，①又因为PA，PB分别是⊙O1的切线和割线，所以PA2＝PC·PB，②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AC，ED，设DE与AB相交于点F，因为BC是⊙O1的直径，所以∠CAB＝90°，所以AC是⊙O2的切线．由(1)知PAPE＝PCPD，所以AC∥ED，所以AB⊥DE，∠CAD＝∠ADE，又因为AC是⊙O2的切线，所以∠CAD＝∠AED，又∠CAD＝∠ADE，所以∠AED＝∠ADE，所以AD＝AE.【拓展演练2】如右图，等边三角形ABC中，边AB与⊙O相切于点H，边BC，CA分别与⊙O交于点D，E，F，G.已知AG＝2，GF＝6，FC＝1，求DE的长．解析：由切割线定理可知：AH2＝AG·AF＝16，所以AH＝4.又AC＝AG＋GF＋FC＝9，所以AB＝AC＝9，故BH＝5，则BD·BE＝BH2＝25.又因为CE·CD＝CF·CG＝7，BC＝AC＝9，设BD＝x，CE＝y，则有x9－y＝25①y9－x＝7②①－②得x－y＝2，即x＝y＋2.③把③代入②得y2－7y＋7＝0，解得y＝7±212.因为x＋y＝2y＋2＜9，即y＜72，所以y＝7－212，所以x＋y＝2y＋2＝7－21＋2＝9－21，从而DE＝BC－(BD＋EC)＝9－(x＋y)＝21.【例3】(2012·山西省山大附中4月)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB.(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；(2)若AD＝23，AE＝6，求EC的长．三圆周角定理和圆的切线定理及应用解析：(1)证明：取BD的中点O，连接OE，因为BE平分∠ABC，所以∠CBE＝∠OBE，又因为OB＝OE，所以∠OBE＝∠BEO，所以∠CBE＝∠BEO，所以BC∥OE.因为∠C＝90°，所以OE⊥AC，所以AC是△BDE的外接圆的切线．(2)设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA2＝OE2＋AE2，即(r＋23)2＝r2＋62，解得r＝23，所以OA＝2OE，所以∠A＝30°，∠AOE＝60°.所以∠CBE＝∠OBE＝30°，所以EC＝12BE＝12×3r＝12×3×23＝3.【拓展演练3】如图，已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的圆的切线相交于点D，E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.(1)求证：点F是BD的中点；(2)求证：CG是⊙O的切线．证明：(1)因为CH⊥AB，DB⊥AB，所以CH∥BD.所以△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，所以EHBF＝AEAF＝CEFD.因为HE＝EC，所以BF＝FD，即F为BD的中点．(2)连接CB、OC.因为AB是直径，所以∠ACB＝90°，从而∠BCD＝90°.在Rt△BCD中，因为F是BD的中点所以∠BCF＝∠CBF.又因为BD与⊙O相切于点B，所以∠OBD＝∠OBC＋∠CBD＝90°.又因为∠OCB＝∠OBC，所以∠OCG＝∠OCB＋∠BCF＝∠OBC＋∠CBF＝90°.所以CG是⊙O的切线．1.(2012·陕西卷)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝.解析：因为AB＝6，AE＝1，所以EB＝5.连接AD，则△AED∽△DEB，所以AEDE＝DEBE，所以DE＝5，又△DFE∽△DEB，所以DFDE＝DEDB，即DF·DB＝DE2＝5.2.(2013·陕西卷)如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝.解析：因为PE∥BC，所以∠BCE＝∠PED.又∠BCE＝∠PAE，所以∠PAE＝∠PED，而∠EPD＝∠APE，所以△PED∽△PAE，所以PEPA＝PDPE，即PE2＝PA·AD.因为PD＝2DA＝2，所以PA＝3，所以PE2＝6，PE＝6.3.(2013·北京卷)如图AB是⊙O的直径，PA为⊙O的切线，PB与⊙O相交于D，PA＝3，PDDB＝916，则PD＝，AB＝.解析：由已知，PA2＝PD·PB＝PD·(PD＋DB)＝9，又PDDB＝916，所以PD＝95，DB＝165，所以PB＝PD＋DB＝5，又PA＝3，∠BAP＝90°，所以AB＝4.4.(2012·辽宁卷)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.证明：(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB，从而ACAD＝ABBD，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD，从而AEAB＝ADBD，即AE·BD＝AD·AB，综合(1)的结论，AC＝AE.