等差数列与等比数列复习

等差数列等比数列定义通项公式中项前n项和公式性质对比复习数列的四则运算:＋－×÷－×÷＋÷÷÷××－－＋＋＋等差数列等比数列定义通项公式中项前n项和公式性质daan1nqaan1n1)d(naa1n1-n1nqaa2cabacb2)an(asn1nd21)n(nnas1n1)(qq1qaaq1)q(1asn1n1n1)(qnas1nm)d(naa(1)mnm-nmnqaa)1(qpmnaaaaqpnm(2)qpmnaaaaqpnm(2)对比复习＋－×÷＋等差数列等比数列定义通项公式中项前n项和公式性质daan1nqaan1n1)d(naa1n1-n1nqaa2cabacb2)an(asn1nd21)n(nnas1n1)(qq1qaaq1)q(1asn1n1n1)(qnas1nm)d(naa(1)mnm-nmnqaa)1(qpmnaaaaqpnm(2)qpmnaaaaqpnm(2)对比复习－×÷[分组讨论]从知识体系中可归纳出哪些主要题型？复习讨论等差、等比数列的主要题型证明一个数列成等差(等比)数列题型一：题型二：在等差(等比)数列的五个基本量an,a1,d(q),n,Sn中“知三求二”题型三：题型四：求等差数列前n项和的最值问题探索性问题题型组一题型六：题型七：应用问题.题型八：数列与其他知识的综合问题.已知数列的前n项和Sn,求an根据条件求数列题型五：题型组二等差、等比数列的主要题型证明一个数列成等差(等比)数列题型一：题型二：在等差(等比)数列的五个基本量an,a1,d(q),n,Sn中“知三求二”题型三：题型四：求等差数列前n项和的最值问题探索性问题题型组一证明一个数列成等差(等比)数列[例题]已知{an},{bn}是项数相同的等比数列,求证:数列{anbn}是等比数列.[课本例题](数学第一册(上)P123例3)[书本证法]证:1n11n1n1n1nn1n1nqbpaqbpababa设数列{an}的首项为a1,公比为p;数列{bn}的首项为b1,公比为q.pq(pq)ba(pq)ba1n11n11又pq是一个与n无关的非零常数,∴得证:数列{anbn}是等比数列.书本上这种证法是什么方法?思考用定义法证明.思考题型一：证明一个数列成等差(等比)数列[例题]已知{an},{bn}是项数相同的等比数列,求证:数列{anbn}是等比数列.[课本例题](数学第一册(上)P123例3)用定义法证明.只要证21n2na1a1是一个与n无关的常数即可.[2]用什么方法来证明?[1]此等差数列的通项是什么?[变式题](2004年浙江省高中会考第32题)已知正数数列{an}中,a1=1,当n≥2时,21n1nna1aa证明:2na1是等差数列.思考,那么怎样把它转化出来呢?[3]条件中没有2na1思考2na1用定义法证明.题型一：证明一个数列成等差(等比)数列[例题]已知{an},{bn}是项数相同的等比数列,求证:数列{anbn}是等比数列.[课本例题](数学第一册(上)P123例3)用定义法证明.[变式题](2004年浙江省高中会考第32题)已知正数数列{an}中,a1=1,当n≥2时,21n1nna1aa证明:2na1是等差数列.证:21n1nna1aa21n21n2naa1a121n21-n2na1aa1a121n1a1a121n2n即得:2na1是等差数列.∴得证:反思解决本题的关键：是什么？合理化的变形,有意识的化归,定义法的应用,是本题的关键.题型一：[例题][课本例题](数学第一册(上)P117例4)等差数列{an},S10=310,S20=1220,求Sn=?等差(比)数列的五个基本量an,a1,d(q),n,Sn中“知三求二”[书本解法]d21)n(nnaS1n解:310d291010a11220d2192020a1∴得:a1=4,d=6∴Sn=3n2+n书本上这种解法是什么方法?思考思考化归为a1,d方程思想.题型二：[例题][课本例题](数学第一册(上)P117例4)等差数列{an},S10=310,S20=1220,求Sn=?化归为a1,d方程思想.[变式题1](1997年全国高考题)等差数列{an},Sm=30,S2m=100,则S3m=()A.130B.170C.210D.260[思考1]解决本题的一般方法(即通法)是什么?30d21)m(mma1100d21)2m(2m2ma1得:2m40d21m20m10a210d21)3m(3m3maS13m∴选CC等差(比)数列的五个基本量an,a1,d(q),n,Sn中“知三求二”化归为a1,d方程思想.题型二：[变式题1](1997年全国高考题)等差数列{an},Sm=30,S2m=100,则S3m=()A.130B.170C.210D.260C[思考2]能否对通法的解题过程进行简化运算?d21)3m(3m3maS13md]21)m(3m[ma31将②-①得:70d]21)m(3m[ma1210703S3m[思考1]本题的通法是什么?210d21)3m(3m3maS13m∴选C化归为a1,d,方程思想.30d21)m(mma1100d21)2m(2m2ma1得:2m40d21m20m10a②①反思用了什么思想方法？设而不求,整体思想.[策略1][策略2]设而不求,整体思想.[思考3]等差数列的前n项和Sn是函数吗?d21)n(nnaS1n转化化归,方程思想.可令Sn=An2+Bn30BmAmS2m∴100B(2m)A(2m)S22m得:2m20Am10B∴S3m=A(3m)2+B(3m)=210[变式题1](1997年全国高考题)等差数列{an},Sm=30,S2m=100,则S3m=()A.130B.170C.210D.260CSn是关于n的无常数项的二次函数.)n2d(an2d12反思用了什么思想方法？待定系数法,函数思想.[策略1][策略2]设而不求,整体思想.[变式题1](1997年全国高考题)等差数列{an},Sm=30,S2m=100,则S3m=()A.130B.170C.210D.260C[策略3]待定系数法,函数思想.[思考4]若{an}是等差数列,则Sm,S2m－Sm,S3m－S2m是等差数列吗？是等差数列)S(SS)S-2(S2m3mmm2m因此由等差中项得:转化化归,方程思想.反思用了什么思想方法？构造新数列,巧妙用性质.210S3m可得:100)(S3030)2(1003m[策略1][策略2]设而不求,整体思想.[变式题1](1997年全国高考题)等差数列{an},Sm=30,S2m=100,则S3m=()A.130B.170C.210D.260C[策略3]待定系数法,函数思想.[策略4]构造新数列,巧用性质.转化化归,方程思想.是函数吗?[思考5]nSnd21)n(nnaS1n)2d(an2dd21)(nanS11n是什么函数？函数图象是什么？[策略1][策略2]设而不求,整体思想.[变式题1](1997年全国高考题)等差数列{an},Sm=30,S2m=100,则S3m=()A.130B.170C.210D.260C[策略3]待定系数法,函数思想.[策略4]构造新数列,巧用性质.[策略5]由三点)3mSC(3m,),2mSB(2m,),mSA(m,3m2mm共线,斜率相等ACABKK可得:210S3m)mSA(m,m转化化归,方程思想.)2d(an2dd21)(nanS11n则)nS(n,n是直线)2d(ax2dy:L1上的一群孤立点.)2mSB(2m,2m)3mSC(3m,3mnSnnoL反思用了什么思想方法？公式合理变形，数列变成点列，实现数形结合。三点共线问题有哪些解决方法？[策略1][策略2]设而不求,整体思想.[变式题1](1997年全国高考题)等差数列{an},Sm=30,S2m=100,则S3m=()A.130B.170C.210D.260C[策略3]待定系数法,函数思想.[策略4]构造新数列,巧用性质.[策略5]公式变形,数形结合.还有没有更简便的方法?思考转化化归,方程思想.[策略1][策略2]设而不求,整体思想.[变式题1](1997年全国高考题)等差数列{an},Sm=30,S2m=100,则S3m=()A.130B.170C.210D.260C[策略3]待定系数法,函数思想.[策略4]构造新数列,巧用性质.[策略5]公式变形,数形结合.[策略6]小题不大做,特值代入法.令m=1,S1=30,S2=100,得:a1=30,a2=70从而得:a3=a2+(a2-a1)=110所以得:S3=a1+a2+a3=210转化化归,方程思想.特殊化法难在不怕做不到,就怕想不到.反思[例题][课本例题](数学第一册(上)P117例4)等差数列{an},S10=310,S20=1220,求Sn=?[变式题1](1997年全国高考题)等差数列{an},Sm=30,S2m=100,则S3m=()A.130B.170C.210D.260C等差(比)数列的五个基本量an,a1,d(q),n,Sn中“知三求二”题型二：[策略1][策略2]设而不求,整体思想.[策略3]待定系数法,函数思想.[策略4]构造新数列,巧用性质.[策略5]公式变形,数形结合.[策略6]小题不大做,特值代入法.转化化归,方程思想.公式正用公式活用公式巧用公式变用的体会公式灵活运用[例题][课本例题](数学第一册(上)P117例4)等差数列{an},S10=310,S20=1220,求Sn=?[变式题1](1997年全国高考题)等差数列{an},Sm=30,S2m=100,则S3m=()A.130B.170C.210D.260C等差(比)数列的五个基本量an,a1,d(q),n,Sn中“知三求二”[变式题2](1995年全国高考题)等差数列{an},{bn}的前n项和为Sn,Tn,72n35nTSnn99ba且,则如何把目标中的项an转化成条件中的和Sn？[思考]项和题型二：[例题][课本例题](数学第一册(上)P117例4)等差数列{an},S10=310,S20=1220,求Sn=?[变式题1](1997年全国高考题)等差数列{an},Sm=30,S2m=100,则S3m=()A.130B.170C.210D.260C等差(比)数列的五个基本量an,a1,d(q),n,Sn中“知三求二”[变式题2](1995年全国高考题)等差数列{an},{bn}的前n项和为Sn,Tn,72n35nTSnn99ba且,则[思考1]沟通Sn与an之间的一般关系是什么?2)(n1)(nS1na1nnSS令Sn=5n+3,Tn=2n+7吗？题型二：[例题][课本例题](数学第一册(上)P117例4)等差数列{an},S10=310,S20=1220,求Sn=?[变式题1](1997年全国高考题)等差数列{an},Sm=30,S2m=100,则S3m=()A.130B.170C.210D.260C等差(比)数列的五个基本量an,a1,d(q),n,Sn中“知三求二”4188[变式题2](1995年全国高考题)等差数列{an},{bn}的前n项和为Sn,Tn,72n35nTSnn99ba且,则0)(K[策略1]∵Sn是关于n的无常数项的二次函数.令Sn=kn(5n+3),Tn=kn(2n+7).418841K88Kba9