等差数列前N项和课件1

1.等差数列的定义：1(2)nnnaaadn是等差数列2.通项公式：1(1).naand3.重要性质:().⑴nmaanmd.⑵mnpqmnpqaaaa复习高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？高斯（1777---1855），德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。高斯“神速求和”的故事:首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和：2＋99=101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，······第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是：1001015050.2求S=1+2+3+······+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？.mnpqmnpqaaaa如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。即求：S=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：S=（4+10)+（5+9）+（6+8）+7=14×3+7=49.还有其它算法吗？情景2S=10+9+8+7+6+5+4.S=4+5+6+7+8+9+10.相加得：(410)749.2S倒序相加法2(410)(59)(68)(77)(86)(95)(104)S(410)7.怎样求一般等差数列的前n项和呢？12,.nnnnanSSaaa设等差数列的前项和为即12.nnSaaa11.nnnSaaa12112()()()nnnnSaaaaaa1().nnaa1211nnnaaaaaa1().2nnnaaS新课等差数列的前n项和公式1(1)naand2)1nnaanS（dnnnaSn2)11（公式1公式21anan公式记忆1)2nnnaaS（11)2nnnSnad（——类比梯形面积公式记忆dnnnaSn2)11（dnaan)1(1结论：知三求二思考：(2)在等差数列中，如果已知五个元素中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?na1,,,,nnaandS(1)两个求和公式有何异同点？例1、10,6,2,2,54等差数列前多少项的和是？1212,,10,6(10)4,54.(-1)-10454262709,3-10-6-22954nnnanSadSnnnnnnn设该等差数列为其前项和是则根据等差数列前项和公式，得整理得解得（舍去）因此，等差数列，，，，前项的和是注：本题体现了方程的思想.解：举例2P1P4645、变式训练：123891012,75,.naaaaaaaS10数列为等差数列，若求例2、12389101275aaaaaa，由解：111418253.adaadd，，10110910145.2Sad又解：1101011010()5()2aaSaa12389101275aaaaaa，由110293887.aaaaaa1101103()87()29.aaaa即529145.1102938aaaaaa，整体运算的思想!变式训练：2512151636,.naaaaaS在等差数列中，已知求解：1161611616()8()2aaSaa2512152155121163618aaaaaaaaaa818144.公差分别是什么？？如果是，它的首项和这个数列是等差数列吗式。，求这个数列的通项公项和为的前：已知数列例n21nsna32nn其通项公式。是否为等差数列，并求变式训练：1n3n2S2n2nS-S1nSaSa1-nn1nnn，，关系：与规律总结：等差数列前n项和公式的函数特征：21111222nddSnanndnan12,,,22nSAnddABaABnB设则是常数2{}nnanSpnqnr问:如果一个数列的前项和，（其中p,q,r为常数，且p0）,那么这个数列一定是等差数列吗？2{}nnanSpnqnr结论:如果一个数列的前项和，（其中p,q,r为常数，且p0）,那么这个数列是等差数列当且仅当r=0数列为等差数列、，，关系：与、规律总结：BnAnS22nS-S1nSaSa12n1-nn1nnn11010010n2k1-nnkk2k3kk2knS10S100Sa2dkS-SS-SS-SS1da4，求，中，）在等差数列（的等差数列构成公差为，，，，，）求证：（，公差为项和是的前：已知等差数列例）（nSn项和。，求前项和为，前项和为前变式训练：等差数列m3100m230man.d27:32SS12.354S}{a512n求公差，：项中，在这中，：在等差数列例奇偶变式训练：已知等差数列{}na的项数为奇数，且奇数的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。(3)项的个数的“奇偶”性质.{an}为等差数列，公差为d.①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1)；②若共有2n+1项，则S2n+1=(2n+1)an+1；S偶-S奇=－an+1；n1nSaSSnd.Sa偶偶奇奇；Sn.Sn1偶奇(1)“片段和”性质.若{an}为等差数列，前k项和为Sk，则Sk，S2k-Sk，S3k－S2k,…构成公差为k2d的等差数列.(2)项数(下标)的“等和”性质.1nmnm1nnaanaaS.22－规律总结：的值。最大的，求是项和为的前例nSSn743,724,5:6nn最大值。，求，且，若变式训练：等差数列n1791nSSS25aa）运用二次函数求最值（或寻找正、负项分界点最大（小）值方法、求存在最小值则，）若（存在最大值，则，）若（最大（小）值情形、的最值情况项和前规律总结：等差数列20a0a0a0a)1(S2S,0d0a2S0d0a1S1Sna1nn1nnnn1n1nnn例7．在等差数列中，160a，1712a，（1）该数列第几项开始为正？（2）前多少项和最小，并求其最小值？（3）求na前n项和Sn？（4）求na前n项和Tn？【解析】设数列{an}的公差为d，则∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由an＜0,得3n-63＜0，即n＜21.当n=21时，a21=0.∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数.设Sn,Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前n项之和，171aa12(60)d3,17116当n≤20时，Sn′=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-an当n＞20时，Sn′=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S202nn(n1)3123S60n3nn;222［］nn1201960n32(60203)2223123nn1260.22∴数列{|an|}的前n项和2n23123nn,n2022S3123nn1260,n20.22，＞变式训练：等差数列{an}的前n项和求数列{|an|}的前n项和Tn.2n3205Snn22－，2n23205nnn3422T3205nn3502n35.22－，－数列{|an|}的前n项和的四种类型及其求解策略(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.(2)等差数列{an}中,a10,d0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.(3)等差数列{an}中,a10,d0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.(4)等差数列{an}的各项均为负数，则{|an|}的前n项和为{an}前n项和的相反数.规律总结.ba3n2n7TSTSn}{b}{a855nnnnnn，求满足，，项和分别为，其前，：有两个等差数列例______nba3n45n7BABAn}{b}{annnnnnnn的个数为整数的正整数，则使，、项和分别为的前、列变式训练：已知等差数1-n21-n2nnBAba：：规律总结：nn*2nnnn753nTn}{bNn1-a1b2Sa126aa7a}{a9项和的前，求，）令（、）求（，满足：等差数列例.n}{b,2,1nn1n21n1a}{an1nn项和的前求中，变式训练：在数列nnnaab变式训练：课时作业十4n1-nn1-nn1-n3221nna1-a1d1aa1aa1aa1aa1T0dd}{a2kn1-n1k1knn11可用裂项）则和式：（，公差为、等差数列）（）（下形式：、常用到裂项公式有如规律总结：1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;1n1()(()2(1))S2nnnaaSnnnad2、求和公式小结3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.①已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.②应用求和公式时一定弄清项数n.③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值.nn4{a}nanS、已知数列前项和，求通项公式的方法；等差数列前n项和性质：(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)12n11221223212233:,,,a,,,,,kkkkkkkbbbaaabaaabaaabkd1.已知是公差为d的等差数列，若，则成等差数列公差为:2nnannAB数列是公差为d的等差数列，则SnSAnBnnSn是等差数列，公差为A.nnn2.aan2nSSdn已知是公差为d的等差数列，为数列的前项和，则是等差数列，公差为.结论：设数列{}na是等差数列，且公差为d，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd；②1nnSaSa奇偶；等差数列奇，偶项和问题结论：设数列{}na是等差数列，且公差为d，（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n项，则①S奇S偶1naa中；②1SnSn奇偶．1{}(1)1111223(1)nnnnn例1：求数列的前n项和S1{}3,2nnaadS12n变式：等差数列中，111为前n项和，求SSS求数列前n项和方法之一：裂项相消法设{an}是公差为d的等差数列，则有特别地，以下等式都是①式的具体应用：121121231111nnn-naaaaaaaaaaa①(裂项相消法)11nn11111111nnnn+nn+121111212121212121112121nnnnnnnn；1111122112nnnnnnnnn；求和公式：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：121211nnnknk121612122212nnnn