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专题五立体几何第二编专题整合突破第二讲点、直线、平面之间的位置关系主干知识整合[必记定理]1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理[重要结论]1.三种平行关系的转化2.三种垂直关系的转化[失分警示]1.忽视线面平行判定定理的条件:证明线面平行时,忽视“直线在平面外”“直线在平面内”的条件.2.忽视线面垂直判定定理的条件:证明线面垂直时,忽视“平面内两条相交直线”这一条件.3.关注面面垂直的性质定理的条件:当题目涉及面面垂直的条件时,一般用此定理转化为线面垂直,应用时注意在面面垂直的前提下,过平面内一点,垂直于两平面交线的直线应在其中一个平面内.热点考向探究考点线、面位置关系与命题真假的判断典例示法典例1(1)[2016·广州五校联考]已知a,b是空间中两条不同的直线,α,β是空间中两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若直线a∥b,b⊂α,则a∥αB.若平面α⊥β,a⊥α,则a∥βC.若平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥bD.若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β[解析]构造长方体ABCD-A1B1C1D1.对于A,若AB∥CD,CD⊂平面ABCD,但AB⊂平面ABCD,A错;对于B,平面ABB1A1⊥平面ABCD,AD⊥平面ABB1A1,但AD⊂平面ABCD,B错;对于C,若平面A1B1C1D1∥平面ABCD,B1C1⊂平面A1B1C1D1,AB⊂平面ABCD,但B1C1不平行于AB,C错;对于D,若A1B1⊥平面BCC1B1,AB⊥平面ADD1A1,AB∥A1B1,则平面BCC1B1∥平面ADD1A1,D正确.故选D.(2)[2015·安徽高考]已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是()A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面[解析]A中,垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行,故A错误;B中,平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面,故B错误;C中,若两个平面相交,则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行,故C错误;D中,若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行,所以若两条直线不平行,则它们不可能垂直于同一个平面,故D正确.求解空间线面位置关系的组合判断题的两大思路(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断.(2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结合有关定理,进行肯定或否定.针对训练1.[2016·江西南昌调研]已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,则下列四个命题中不正确的是()A.若m∥n,m⊥α,则n⊥αB.若m⊥α,m⊥β,则α∥βC.若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥βD.若m∥α,α∩β=n,则m∥n解析易知A、B正确;对于C,因为m⊥α,m∥n,所以n⊥α,又n⊂β,所以β⊥α,即C正确;对于D,因为m∥α,α∩β=n,所以m∥n或m与n是异面直线,故D不正确.2.[2016·郑州高三质检]如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻折过程中,下面四个命题中不正确的是()A.BM是定值B.点M在某个球面上运动C.存在某个位置,使DE⊥A1CD.存在某个位置,使MB∥平面A1DE解析延长CB至F,使CB=BF,连接A1F,可知MB为△A1FC的中位线,即MB=12A1F,因为在翻折过程中A1F为定值,所以BM为定值.点A1绕DE的中点、以定长为半径做圆周运动,点M运动的轨迹与点A1相似,也是圆周运动,所以点M在某个球面上运动.由题知DE⊥EC,若DE⊥A1C,则直线DE⊥平面ECA1,于是∠DEA1=90°,又因为∠DAE=90°,即∠DA1E=90°,此时在一个三角形中有两个直角,所以DE不可能垂直于A1C.因为MB綊12A1F,由图可知A1F在平面A1DE内,所以存在某个位置使得MB∥平面A1DE.考点空间平行关系的证明典例示法题型1线面平行的判定与性质典例2如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1∥平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=22,求三棱锥C-A1DE的体积.[解](1)证明:连接AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.由D是AB中点,连接DF,则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=22得∠ACB=90°,CD=2,A1D=6,DE=3,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以VC-A1DE=13×12×6×3×2=1.题型2面面平行的判定与性质典例3如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.[证明](1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.立体几何中证明平行关系的常用方法(1)证明线线平行的常用方法①利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平行.②利用平行四边形进行转换.③利用三角形中位线定理证明.④利用线面平行、面面平行的性质定理证明.(2)证明线面平行的常用方法①利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证明线线平行.②利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证明面面平行.(3)证明面面平行的方法证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面平行,再转化为证明线线平行.考点空间垂直关系的证明典例示法题型1线线、线面垂直的判定与性质典例4[2016·山西四校联考]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是正三角形,点D是A1B1的中点,AC=2,CC1=2.(1)求三棱锥C-BDC1的体积;(2)证明:A1C⊥BC1.[解](1)依题意,VC-BDC1=VD-BCC1,过点D作DH⊥C1B1,垂足为H,在直三棱柱中C1C⊥平面A1B1C1,∴C1C⊥DH,∴DH⊥平面BCC1,∴DH是三棱锥D-BCC1在平面BCC1上的高,∴DH=32,又S△BCC1=12×2×2=2,∴VC-BDC1=VD-BCC1=13×32×2=66.(2)证明:取C1B1的中点E,连接A1E,CE,∵底面是正三角形,∴A1E⊥B1C1,易知A1E⊥BC1,Rt△C1CE中,C1C=2,C1E=1,Rt△BCC1中,BC=2,CC1=2,∴C1CBC=C1ECC1,∴△CC1E∽△BCC1,∴∠C1BC=∠ECC1,∠C1BC+∠BC1C=90°,∴∠ECC1+∠BC1C=90°,∴CE⊥BC1,∴BC1⊥平面A1CE,∴A1C⊥BC1.题型2面面垂直的判定与性质典例5[2015·山东高考]如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.[证明](1)证法一:连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形,则M为CD的中点,又H为BC的中点,所以HM∥BD.又HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)连接HE,GE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB,由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形,所以CF∥HE.又CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.立体几何中证明垂直关系的常用方法(1)证明线线垂直的常用方法①利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直.②利用勾股定理逆定理.③利用线面垂直的性质,即要证明线线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.(2)证明线面垂直的常用方法①利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线线垂直.②利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证明面面垂直.③利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面等.(3)证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、高线或添加辅助线解决.高考随堂演练[全国卷高考真题调研]1.[2016·全国卷Ⅰ]平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13解析因为过点A的平面α与平面CB1D1平行,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以m∥B1D1∥BD,又A1B∥平面CB1D1,所以n∥A1B,则BD与A1B所成的角为所求角,所以m,n所成角的正弦值为32,选A.2.[2015·全国卷Ⅰ]如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(1)证明:平面AEC⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积.解(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=32x,GB=GD=x2.因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=32x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=22x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=13×12AC·GD·BE=624x3=63.故x=2.从而可得AE=EC=ED=6.所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.3.[2016·全国卷Ⅰ]如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.解(1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.又PD∩DE=D,所以AB⊥平
本文标题:新加坡货运航空公司的大事记
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