6.3-三重积分的计算

第一节多元数量函数积分的概念与性质第二节二重积分的计算第三节三重积分的计算第四节第一型曲线积分的计算第五节第一型曲面积分的计算第六节数量函数积分的应用第六章多元数量函数的积分学及其应用设平行于轴z且穿过闭区域的直线与的边界曲面S的交点不多于两个，xyD（一）坐标面投影法oxyz),(1yxzz),(2yxzz2S1S.,ΩxyDxOy得投影区域投影平面向将积分区域}),(,),(),(),,{(Ω21xyDyxyxzzyxzzyx).(),(),,(21xyDCyxzyxz2P1P),(yx3.1直角坐标系中三重积分的计算过xyD内任一点)(yx，作平行于z轴的直线，此直线与21SS和的交点的立坐标为)(1yxz，和)(2yxz，。,),,(),(),(2),(1yxzyxzdzzyxfyxF作定积分先固定,),(xyDyx然后将),(yxF在xyD上作二重积分ddzzyxfdyxFyxzyxzDDxyxy]),,([),(),(),(21，ddzzyxfdvzyxfyxzyxzDxy]),,([),,(),(),(21（先一后二法）。若xyD可用不等式)()(21xyyxy，bxa表示，则),(),()()(2121)()(yxzyxzxyxybadzzyxfdydxdvzyxf，，，，上式是先对z，次对y，最后对x的三次积分。则得上连续时在当函数,),,(zyxfdxdydz注：1．若平行于)(轴或轴yx的直线与S的交点不多于两个，则同样可把投影到yoz面（xoz或面）上，得到先对x（或y）的积分。2．若平行于坐标轴的直线与S的交点多于两个，则可把分成几块处理。例1．把三重积分dxdydzzyxfI),,(化为各种次序的三次积分，其中是由平面1z及锥面22yxz所围成的立体。xyD：122yx。111112222),,(xxyxdzzyxfdydxI，或111112222),,(yyyxdzzyxfdxdyI；解：①先对积分zxyzo111z22yxzxyo1121xy21xyxyDyzo1z22yxzxyzo1zyzyyzD由22yxz解得22yzx，②先对积分xyzD：10z，zyz。102222),,(zzyzyzdxzyxfdydzI，0112222),,(yyzyzdxzyxfdzdyI或1012222),,(yyzyzdxzyxfdzdy102222),,(zzxzxzdyzyxfdxdzI，由22yxz解得22xzy，③先对积分yxzD：10z，zxz。0112222),,(xxzxzdyzyxfdzdxI或1012222),,(xxzxzdyzyxfdzdxxyzo1z22yxzxzo1xzxzxzD例2．计算三重积分xdxdydz，其中为三个坐标平面及平面12zyx所围成的闭区域。解：在xoy面上的投影区域为xyD：.210,10xyxyxxxdzdydxxdxdydz21211000481)2(41)21(103221100dxxxxdyyxxdxx。xyzo1211设21),(),(),,(czczDyxzyx，其中)(zD是用平面z=z截闭区域所得的平面闭区域，（二）坐标轴投影法(截面法)].,[,21ccz得到投影区间轴投影向将空间区域,)(],,[21作二重积分上在截面区域固定zDcczxyz1c2c)(zDoz,),,()()(zDdxdyzyxfz（先二后一法).),,(),,()(21zDccdxdyzyxfdzdvzyxf上作定积分在再将],[)(21ccz,)),,(()(2121)(cczDccdzdxdyzyxfdzz则得上连续时在当函数,),,(zyxfxyz1c2c)(zDoz例3．计算三重积分dxdydzz2，其中是由椭球面1222222czbyax所围成的空间闭区域。xyzozD分析：被积函数中缺变量yx和，用平行于xoy平面去截，其截面是椭圆。故用“先二后一法”。解：},1),,{(222222czcczbyaxzyx，,)(22zDccdxdydzzdxdydzz)1(11222222)(czabczbczadxdyzD其中D(z)为平面上的zz椭圆盘：2222221czbyax，故32222154)1(abcdzczzabdxdydzzcc。椭圆的长半轴椭圆的短半轴解：两曲面的交线为azayxyxazazyx22222222，例4.为由曲面azyx22与)0(222ayxaz所围成的封闭区域，求的体积V。)(2)(021zDaazDadxdydzdxdydzdxdydzV，xyzoa2a)(2zD)(1zD当az0，区域)(1zD为azyx22，面积为az；当aza2，区域)(2zD为222)2(zayx，面积为2)2(za，故322065)2(adzzaazdzVaaa。1．设上连续在有界闭区域),,(zyxf。若面关于yoz),(面或面或xozxoy对称，被积函数),,(zyxf关于变量x（或z，或y）是奇函数，则0),,(dxdydzzyxf；若),,(zyxf关于变量x（或z，或y）是偶函数，则三重积分等于其一半对称区域上重积分的两倍。（三）利用对称性简化三重积分的计算2．设上连续在有界闭区域),,(zyxf，且关于原点对称。若),,(zyxf关于变量x，y，z为奇函数，即),,(),,(zyxfzyxf，则0),,(dxdydzzyxf；若),,(zyxf关于变量x，y，z为偶函数，即),,(),,(zyxfzyxf，则三重积分等于其一半对称区域上重积分的两倍。3．若将x换为y，y换为z，z换为x，积分区域不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分的值，与原积分的值相同。例5．设有空间区域0,:22221zRzyx；0,0,0,:22222zyxRzyx，则（）（A）214xdvxdv；（B）214ydvydv；（C）214zdvzdv；（D）214xyzdvxyzdv。(轮换对称性)C例6．求dvzyxzyxz1)1ln(222222，其中1:222zyx。解：∵积分区域关于原点对称，且被积函数关于变量x，y，z为奇函数，∴01)1ln(222222dvzyxzyxz。例7．计算dxdydzzxI)(22，1222zyx为。解：dxdydzzdxdydzxI22，由轮换对称性知：dxdydzzdxdydzydxdydzx222，2221112222zyxdxdydzzdxdydzzI.158)(4)1(210421122dzzzdzzz（1）变换T：wvuzzwvuyywvuxx,,,,,,，一对一的变为把区域；3．2三重积分的一般换元法则（2）上面变换中的函数在区域具有连续偏导数；（3）wvuwvuzyxJ,,,0,,,,，则定理：设dudvdwJwvuzwvuywvuxf),,(,,,,,,(dxdydzzyxf),,(设),,(zyxM为空间内一点，面在点xoyM上的投影P的极坐标为,，则称三元有序数组),,(z是点M的柱面坐标，规定z,,的取值范围为：0，20，z。xyzO),,(zyxM),(P3．2柱面坐标系下三重积分的计算三组坐标面为：常数，即以z轴为轴的圆柱面；常数，即过z轴的半平面；常数z，即与xoy面平行的平面。xyzO体积元素显然：sincoszzyx。1000cossin0sincos),,(),,(zzyxJ，∴dzddzfdxdydzzyxf),sin,cos(),,(.xyzO),,(zyxM),(P例7．计算dvzyx)(，其中是由224yxz与zyx322所围成的区域。解：两曲面的交线为3z42222yxyxz1322zyx，224yxzzxyozyx3221332在xoy平面上的投影区域为}3,{(22yxyxDxy，在柱面坐标下}43,30,20),,{(22zz.∵积分区域关于xoz平面、yoz平面对称，而被积函数yx,分别关于,x变量变量为y奇函数，∴0ydvxdv。zdvydvxdvdvzyx)(.41322433020zdzddzdv在xoy平面上的投影区域为}16),{(22yxyxDxy，例8．一形体0,4zzy是由平面和圆柱面1622yx所围成，已知其上任一点的密度与该点到轴的距离z成正比，求其m质量。解：密度函数)0(),,(22kyxkzyx，则dxdydzyxkm22。xyzo1622yx4zy44dxdydzyxkm22sin404020dzddk403220)sin4(ddk.3512)sin643256(20kdk在柱面坐标下}sin40,40,20),,{(zz，.:轴正向的夹角与xOP3．3球面坐标系下三重积分的计算令垂足为平面引垂线向从点为空间内一点设.,,),,(PxoyMzyxM,:间的距离与点原点MOr,:轴正向所夹的角与zOM则称三元有序数组),,(r是点M的球面坐标.xyzO)0,,(yxPr),,(zyxM.π20,π0,0r规定三组坐标面为.,.,.,半平面常数圆锥面常数球面常数rcossinsinsincossincosrzrOPyrOPxxyzO)0,,(yxPr),,(zyxM∵sin0sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossin),,(),,(2rrrrrrrzyxJ∴dxdydzzyxf),,(ddrdrrrrfsin)cos,sinsin,cossin(2例10．计算三重积分dxdydzzyx)(222，是其中由圆锥面222zyx与上半球面222yxRz所围成的区域。解：在球面坐标系下，圆锥面222zyx化为4，上半球面RryxRz222化为，},0,40,20),,{(Rrrdxdydzzyx)(222404200sinRdrrdd