应用LINGO、MATLAB软件求解线性规划

§1.5应用LINGO、MATLAB软件求解线性规划1.5.1应用LINGO软件求解线性规划一、LINGO使用简介LINGO软件是美国的LINDO系统公司（LindoSystemInc）开发的一套用于求解最优化问题的软件包。LINGO除了能用于求解线性规划和二次规划外，还可以用于非线性规划求解以及一些线性和非线性方程（组）的求解等。LINGO软件的最大特色在于它允许优化模型中的决策变量为整数，而且执行速度快。LINGO内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果，这里简单介绍LINGO的使用方法。LINGO可以求解线性规划、二次规划、非线性规划、整数规划、图论及网络优化和排队论模型中的最优化问题等。一个LINGO程序一般会包含集合段、数据输入段、优化目标和约束段、初始段和数据预处理段等部分，每一部分有其独特的作用和语法规则，读者可以通过查阅相关的参考书或者LINGO的HELP文件详细了解，这里就不展开介绍了。LINGO的主要功能特色为：既能求解线性规划问题，也有较强的求解非线性规划问题的能力；输入模型简练直观；运算速度快、计算能力强；内置建模语言，提供几十个内部函数，从而能以较少语句，较直观的方式描述大规模的优化模型；将集合的概念引入编程语言，很容易将实际问题转换为LINGO模型；并且能方便地与Excel、数据库等其他软件交换数据。•LINGO的语法规定：•（1）求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=…或MIN=…来表示；•（2）每个语句必须以分号“；”结束，每行可以有许多语句，语句可以跨行；•（3）变量名称必须以字母(A~Z)开头，由字母、数字(0~9)和下划线所组成，长度不超过32个字符，不区分大小写；•（4）可以给语句加上标号，例如[OBJ]MAX=200*X1+300*X2；•（5）以惊叹号“！”开头，以分号“；”结束的语句是注释语句;•（6）如果对变量的取值范围没有作特殊说明，则默认所有决策变量都非负；•（7）LINGO模型以语句“MODEL：”开头，以“END”结束，对于比较简单的模型，这两个语句可以省略。0,12416482.32max21212121xxxxxxtsxxS在LINGO的MODEL窗口内输入如下模型：model:max=2*x1+3*x2;x1+2*x2=8;4*x1=16;4*x2=12;End•例1.5.1用LINGO求解例1.1.2。•解例1.1.2建立的线性规划数学模型为（1.1.4）选菜单Lingo|Solve(或按Ctrl+S),或用鼠标点击“求解”按纽，如果模型有语法错误，则弹出一个标题为“LINGOErrorMessage”(错误信息)的窗口，指出在哪一行有怎样的错误，每一种错误都有一个编号（具体含义可查阅相关文献或LINGO的Help）。改正错误以后再求解，如果语法通过,LINGO用内部所带的求解程序求出模型的解,然后弹出一个标题为“LINGOSolverStatus”(求解状态)的窗口,其内容为变量个数、约束条件个数、优化状态、耗费内存、所花时间等信息,点击Close关闭窗口,屏幕上出现标题为“SolutionReport”(解的报告)的信息窗口,显示优化计算(线性规划中换基迭代)的步数、优化后的目标函数值、列出各变量的计算结果。本例的具体内容如下：Globaloptimalsolutionfoundatiteration:5Objectivevalue:14.00000VariableValueReducedCostX14.0000000.000000X22.0000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice114.000001.00000020.0000001.50000030.0000000.125000044.0000000.000000该报告说明：运行5步找到全局最优解，目标函数值为14，变量值分别为。“ReducedCost”的含义是需缩减成本系数或需增加利润系数（最优解中取值非零的决策变量的ReducedCost值等于零）。“Row”是输入模型中的行号，目标函数是第一行；“SlackorSurplus”的意思是松弛或剩余，即约束条件左边与右边的差值，对于“”的不等式，右边减左边的差值为Slack（松弛），对于“”的不等式，左边减的右边差值为Surplus（剩余），当约束条件两边相等时，松弛或剩余的值等于零。“DualPrice”的意思是对偶价格（或称为影子价格，意义见§2.5），上述报告中Row2的松弛值为0，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需设备8台时已经饱和，对偶价格1.5的含义是：如果设备增加1台时，能使目标函数值增加1.5。报告中Row4的松弛值为4，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需原材料乙8公斤还剩余4公斤，因此增加原材料乙不会使目标函数值增加，所以对偶价格为0。124,2xx123451234512345123451234512345min0.20.70.40.30.50.320.61.8600.10.050.020.20.0530.050.10.020.20.088.52,,,,0Sxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxstxxxxxxxxxx在LINGO的MODEL窗口内输入如下模型：Min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x560;0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x53;0.05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x58;X1+x2+x3+x4+x552;•例1.5.2用LINGO求解例1.1.3食谱问题。•解例1.1.3食谱问题的数学模型为（1.1.6）求解输出结果如下:Globaloptimalsolutionfoundatiteration:4Objectivevalue:22.40000VariableValueReducedCostX10.0000000.7000000X212.000000.000000X30.0000000.6166667X430.000000.000000X510.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice122.40000-1.00000020.000000-0.583333334.1000000.00000040.000000-4.16666750.0000000.8833333因此,每周每个动物的配料为饲料A2、A4、A5分别为12、30和10，合计为52，可使得饲养成本达到最小，最小成本为22.4元；不选用饲料和的原因是因为这两种饲料的价格太高了，没有竞争力。“ReducedCost”分别等于0.7和0.617，说明当这两种饲料的价格分别降低0.7元和0.62元以上时，不仅选用这两种饲料而且使得饲养成本降低。从“SlackorSurplus”可以看出，蛋白质和维生素刚达到最低标准，矿物质超过最低标准4.1；从“DualPrice”可以得到降低标准蛋白质1单位可使饲养成本降低0.583元，降低标准维生素1单位可使饲养成本降低4.167元，但降低矿物质的标准不会降低饲养成本，如果动物的进食量减少，就必须选取精一些的饲料但要增加成本，大约进食量降低1可使得饲养成本增加0.88元。11minzs.t.CXAXbAXblbXub(1.5.1)1.5.2应用MATLAB求解线性规划•MATLAB（MATrixLABoratory）的基本含义是矩阵实验室，它是由美国MathWorks公司研制开发的一套高性能的集数值计算、信息处理、图形显示等于一体的可视化数学工具软件。它是建立在向量、数组和矩阵基础之上的，除了基本的数值计算、数据处理、图形显示等功能之外，还包含功能强大的多个“工具箱”，如优化工具箱（optimizationtoolbox）、统计工具箱、样条函数工具箱和数据拟合工具箱等都是优化计算的有力工具。在这里仅介绍用MATLAB6.5优化工具箱求解线性规划问题。•一般线性规划问题的数学模型为•其中C是目标函数的系数行向量（常数）,X是n维列向量（决策变量），A,A1是常数矩阵，b,b1是常数向量，lb,ub是n维列向量分别表示决策变量X的下界与上界。•在Matlab优化工具箱（OptimizationToolbox）中，求解(1.5.1)的程序如下：[x，fval，exitflag，output，lambda]=linprog(c，A，b，Aeq，beq，lb，ub，x0，options)•说明：(1)A是不等式约束的系数矩阵，b是相应的常数列向量，若没有不等式约束，则均用[]代替；•(2)Aeq是等式约束的系数矩阵，beq是相应的常数列向量，若没有等式约束，则均用[]代替；•(3)如果某个变量无下界，则用-inf表示；如果某个变量无上界，则用inf表示，若决策变量无下界，则lb用[]代替；若决策变量无上界，则ub用[]代替；•(4)x0是线性规划的初始解，这种设计仅对中规模算法有效，通常可以缺省。•(5)输出是最优解，fval是最优值。•(6)输出exitflag描述了程序的运行情况，若其值大于零，表示程序收敛到最优解；若其值等于零，表示计算达到了最大次数；若其值小于零，表示问题无可行解，或程序运行失败。•(7)输出output表示程序运行的某些信息，如迭代次数(iterations)、所用算法(algorithm)、共轭梯度(cgiterations)等。•(8)lambda表示解处的拉格朗日乘子，其中lower，upper，ineqlin，eqlin分别对应于下界、上界、不等式约束与等式约束。例1.5.3用MATLAB解线性规划问题123123123123123226442212005minzxxxxxxxxxs.t.xxxx,x,x（1.5.2）解Matlab程序如下:c=[-2,-1,1];A=[1,4,-1;2,-2,1];b=[4;12];Aeq=[1,1,2];beq=6;lb=[0,0,-inf];ub=[inf,inf,5];[x,z]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)运行后得到输出Optimizationterminatedsuccessfully.x=4.66670.00000.6667z=-8.6667例1.5.4用MATLAB求解线性规划问题123123123max2357..25100,1,2,3izxxxxxxstxxxxi（1.5.3）解首先转化为求最小值问题123123123min2357..25100,1,2,3izSxxxxxxstxxxxiMatlab程序如下c=[-2,-3,5];A=[-2,5,-1];b=-10;Aeq=[1,1,1];beq=[7];lb=[0,0,0];[x,z]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb)运行后得到输出x=6.42860.57140.0000z=-14.5714键入s=-z运行后得到原问题的目标函数最大值s=14.5714用MATLAB求解例1.5.2的程序与输出结果为：c=[0.2,0.7,0.4,0.3,0.5];A=[-0.3,-2,-1,-0.6,-1.8;-0.1,-0.05,-0.02,-0.2,-0.05;-0.05,-0.1,-0.02,-0.2,-0.08;1,1,1,1,1];b=[-60;-3;-8;52];lb=[0,0,0,0,0];[x,z]=linprog(c,A,b,[],[],lb)Optimizati