2.2函数的定义域、值域及解析式

§2.2函数的定义域、值域及解析式数学苏(文)第二章函数与基本初等函数Ⅰ基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．1．函数的定义域(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围．(2)求定义域的步骤①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式组；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．(3)常见基本初等函数的定义域①分式函数中分母不等于零．②偶次根式函数、被开方式大于或等于0.③一次函数、二次函数的定义域为.④y＝ax(a0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为.⑤y＝tanx的定义域为.⑥函数f(x)＝x0的定义域为．RRx|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z{x|x∈R且x≠0}基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理2．函数的值域(1)在函数y＝f(x)中，与自变量x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2)基本初等函数的值域①y＝kx＋b(k≠0)的值域是.②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a0时，值域为；当a0时，值域为.4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24aR1．函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理③y＝kx(k≠0)的值域是．④y＝ax(a0且a≠1)的值域是．⑤y＝logax(a0且a≠1)的值域是.⑥y＝sinx，y＝cosx的值域是．⑦y＝tanx的值域是.{y|y∈R且y≠0}(0，＋∞)R[－1,1]R1．函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理2．(1)如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围．(2)如果f(g(x))的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域．(3)f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同．3．函数解析式的求法(1)换元法；(2)待定系数法；(3)消去法：若所给解析式中含有f(x)、f1x或f(x)、f(－x)等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x)．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345基础知识·自主学习基础自测(－1,0)∪(0,2](0，＋∞)2x＋7g(x)＝3xx2＋1x2－1(x≠0)基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为______________．(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是____________．题型分类·深度剖析题型一求函数的定义域思维启迪解析答案探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；抽象函数的定义域要注意自变量的取值和各个字母的位置．题型一求函数的定义域【例1】(1)函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为______________．(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是____________．思维启迪解析答案探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为______________．(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是____________．题型分类·深度剖析(1)由x＋10－x2－3x＋40，得－1x1.`题型一求函数的定义域(2)依已知有0≤2x≤2，x－1≠0，解之得0≤x1，定义域为[0,1)．思维启迪解析答案探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一求函数的定义域【例1】(1)函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为______________．(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是____________．(1)由x＋10－x2－3x＋40，得－1x1.`(2)依已知有0≤2x≤2，x－1≠0，解之得0≤x1，定义域为[0,1)．(－1,1)[0,1)思维启迪解析答案探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．题型一求函数的定义域【例1】(1)函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为______________．(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是____________．(－1,1)[0,1)思维启迪解析答案探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1(1)若函数f(x)＝x－4mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是__________．题型分类·深度剖析解析f(x)的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立．①当m＝0时，符合条件．②当m≠0时，Δ＝(4m)2－4×m×30，即m(4m－3)0，∴0m34.综上所述，m的取值范围是0，34.0，34基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1(2)已知f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是__________．题型分类·深度剖析解析由0≤x＋1≤4，0≤x－1≤4得1≤x≤3.故f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．[1,3]基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】求下列函数的值域：(1)y＝x2＋2x(x∈[0,3])；(2)y＝x－3x＋1；(3)y＝x－1－2x；(4)y＝log3x＋logx3－1.题型分类·深度剖析题型二求函数的值域思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析根据各个函数解析式的特点，考虑用不同的方法求解．(1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法或单调性法；(4)基本不等式法．思维启迪解析探究提高题型二求函数的值域【例2】求下列函数的值域：(1)y＝x2＋2x(x∈[0,3])；(2)y＝x－3x＋1；(3)y＝x－1－2x；(4)y＝log3x＋logx3－1.基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】求下列函数的值域：(1)y＝x2＋2x(x∈[0,3])；(2)y＝x－3x＋1；(3)y＝x－1－2x；(4)y＝log3x＋logx3－1.题型分类·深度剖析解(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，思维启迪解析探究提高题型二求函数的值域y＝(x＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y≤15，即函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]．(2)(分离常数法)y＝x－3x＋1＝x＋1－4x＋1＝1－4x＋1.因为4x＋1≠0，所以1－4x＋1≠1，即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．(3)方法一(换元法)令1－2x＝t，则t≥0且x＝1－t22，基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】求下列函数的值域：(1)y＝x2＋2x(x∈[0,3])；(2)y＝x－3x＋1；(3)y＝x－1－2x；(4)y＝log3x＋logx3－1.题型分类·深度剖析于是y＝1－t22－t＝－12(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤12，故函数的值域是y|y≤12.思维启迪解析探究提高题型二求函数的值域方法二(单调性法)容易判断函数y＝f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤12，所以y≤f12＝12，即函数的值域是y|y≤12.(4)(基本不等式法)函数定义域为{x|x∈R，x0，且x≠1}．当x1时，log3x0，于是y＝log3x＋1log3x－1≥2log3x·1log3x－1＝1；当0x1时，log3x0，于是y＝log3x＋1log3x－1＝－－log3x＋1－log3x－1≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．思维启迪解析探究提高题型二求函数的值域【例2】求下列函数的值域：(1)y＝x2＋2x(x∈[0,3])；(2)y＝x－3x＋1；(3)y＝x－1－2x；(4)y＝log3x＋logx3－1.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x＋1；(2)y＝2x－1－13－4x.题型分类·深度剖析解(1)方法一(配方法)∵y＝1－1x2－x＋1，又x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43，∴－13≤y1.∴函数的值域为－13，1.方法二(判别式法)由y＝x2－xx2－x＋1，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x＋1；(2)y＝2x－1－13－4x.题型分类·深度剖析综上得－13≤y1.∴函数的值域为－13，1.(2)方法一(换元法)设13－4x＝t，则t≥0，x＝13－t24，于是f(x)＝g(t)＝2·13－t24－1－t＝－12t2－t＋112＝－12(t＋1)2＋6，显然函数g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，所以g(t)≤g(0)＝112，因此原函数的值域是－∞，112.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x＋1；(2)y＝2x－1－13－4x.题型分类·深度剖析方法二(单调性法)函数定义域是x|x≤134，当自变量x增大时，2x－1增大，13－4x减小，所以2x－1－13－4x增大，因此函数f(x)＝2x－1－13－4x在其定义域上是一个单调递增函数，所以当x＝134时，函数取得最大值f134＝112，故原函数的值域是－∞，112.基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】(1)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)；(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式；(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．题型分类·深度剖析题型三求