2011届高三数学理大纲版创新设计一轮复习课件：3.14 等差数列与等比数列的性质

第14课时等差数列与等比数列的性质了解等差数列和等比数列的性质，并能够利用性质进行计算和证明1．若数列{an}成等差数列，则数列{Aan＋B}也成等差数列．2．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.3．若数列{an}成等差数列，且bn＝a2n－1，则数列{bn}也成等差数列．4．若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sm,S2m－Sm,S3m－S2m…构成等差数列．思考：类比等差数列的基本性质，归纳总结等比数列的基本性质．提示：(1)若数列{an}、{bn}成等比数列，则数列{Aan}，{a}，{an·bn}(A≠0)也成等比数列．(2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则aman＝apaq.(3)若数列{an}成等比数列，且bn＝a2n－1，则数列{bn}也成等比数列．(4)若等比数列{an}的前n项和为Sn(等比数列的公比q≠－1)，则数列Sm,S2m－Sm,S3m－S2m…构成等比数列．1．(2009·海南)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝()A．38B．20C．10D．9解析：由已知条件由①知am＝2，或am＝0(舍去)．将am＝2代入②解得m＝10.答案：C2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于()A．12B．18C．24D．42解析：S2，S4－S2，S6－S4成等差数列．∴S2＋(S6－S4)＝2(S4－S2)，S6＝3(S4－S2)＝24.答案：C3．有2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()解析：解法一：设原数列为a1，a2，a3，…，a2n＋1，公差为d，则a1，a3，a5，…，a2n＋1和a2，a4，a6，…，a2n分别也成等差数列，公差都为2d，∴S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝(n＋1)a1＋·2d＝(n＋1)(a1＋nd)，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝na2＋2d＝n(a1＋d)＋n(n－1)d＝n(a1＋nd)．∴.应选B项．解法二：∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝，又a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴，选B项．解法三：由于本题的结果对任意的等差数列都成立，因此可采用特殊数列进行验证排除，取满足条件的特殊数列1,2,3则：S奇＝1＋3＝4，S偶＝2，∴＝2，验证知选B项．答案：B4．若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则数列bn＝(n∈N*)也为等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn＞0(n∈N*)，则有dn＝____________(n∈N*)也是等比数列．答案：1.若三个数a，A，b成等差⇔2A＝a＋b；2．若三个数a，G，b成等比⇒G2＝ab.【例1】设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若{Sn}是等差数列，则q＝________.解析：由{Sn}是等差数列知：2Sn＋1＝Sn＋Sn＋2，即2(Sn＋an＋1)＝Sn＋Sn＋an＋1＋an＋2，则an＋1＝an＋2，因此q＝＝1.答案：1变式1.在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn.若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于()A．2n＋1－2B．3nC．2nD．3n－1解析：∵数列{an}、{an＋1}为等比数列，且a1＝2，∴a＝2a3，(a2＋1)2＝3(a3＋1)，∴a2＝2，q＝1.∴Sn＝2n.答案：C虽然等差(比)数列的有关计算和证明，都可围绕其首项和公差(比)进行，但是熟练地掌握等差(比)数列的性质，则可以大幅度地减少运算量，以达到事半功倍的作用．比如在等差数列中S2n－1＝(2n－1)an；在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n(q≠1)时，也构成等比数列等．【例2】(1)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和的比是(7n＋2)∶(n＋3)，求这两个数列中第7项的比a7∶b7.(2)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m＝30，则S3m＝________.解答：(1).(2)解析：解法一：∵Sm＝10，S2m＝30，①→整体消元技巧②②÷①得1＋qm＝3，∴qm＝2.③③代入①得＝10，∴＝－10(把整体作为未知元很关键)．∴S3m＝＝(－10)×(1－23)＝70.解法二：∵{an}是等比数列，∴Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，即10,20，S3m－30满足10·(S3m－30)＝202，S3m－30＝40，∴S3m＝70.答案：70对于有穷的等差、等比数列的相关计算问题有着特殊的计算方法，比如在一个项数n为奇数的等差数列中(其中为中项)．【例3】(1)项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项和项数．(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求等差数列的公差．解答：(1)根据已知条件设等差数列的项数为n，则∴因此该数列中间项为11，项数为7.∴S偶＝(S偶＋S奇)＝192.S奇＝162，d＝＝5.变式3.已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170.求这个数列的公比和项数．解答：解法一：设该等比数列的公比为q，项数为2n，则S偶＝qS奇⇒q＝＝2.又S2n＝S偶＋S奇⇒＝85＋170⇒22n－1＝255.∴2n＝8，故数列公比为2，项数为8.解法二：设该数列公比为q，项数为2n，则奇数项、偶数项也构成等比数列，且公比为q2，可推出q2≠1.故有⇒q＝2，n＝4.故这个数列的公比为2，项数为8.【方法规律】1．了解和掌握等差数列和等比数列的基本性质，有利于更深刻地理解等差数列和等比数列问题，使有关的计算和证明问题能做到更简洁、明了、快速和准确．2．除去以上所列出的等差数列和等比数列的基本性质之外，还要注意以下的一些常见情况：(1)若等差数列{an}的项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan；(2)若等差数列{an}的项数为2n，公差为d，则S偶－S奇＝nd；(3)若等比数列{an}的项数为2n，公比为q，则＝q.(4)等比数列的相关结论可以看作是等差数列结论的“运算升级”.(本题满分12分)若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，(1)求数列S1，S2，S4的公比；(2)若S2＝4，求{an}的通项公式.【考卷实录】【分析点评】1.考题对等差数列和等比数列进行综合考查，考卷实录中第(1)问很好把握了等差数列前n项和的特征Sn＝An2＋Bn.而第(2)问利用了已知Sn求an，要注意an＝要注意对a1＝S1是否适合an＝Sn－Sn－1，n≥2的检验．2．本题的一般解法具体如下：(1)由已知条件得＝S1S4，即(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得：d2＝2a1d，又d≠0，则d＝2a1，＝4，数列S1，S2，S4的公比为4.(2)由已知条件4a1＝4，则a1＝1，d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.