线性代数04-矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算§1矩阵一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换√√√√√其中√表示有航班始发地ABCD目的地ABCD例某航空公司在A、B、C、D四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示:√√一、矩阵概念的引入为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：ABCDABCD√√√√√√√这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.1111111000000000其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．例某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．1112212231324142bbbbbbbb一二三1234由m×n个数排成的m行n列的数表(1,2,,;1,2,,)ijaimjn111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵(matrix)．这个数表是一个整体，用括号将数表括起来，记作二、矩阵的定义111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa简记为()()mnijmnijAAaa元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.其中数称为矩阵的第行第列的元素.ijaij行数不一定等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素本质上就是一个数矩阵行列式111212122211nnmmmnaaaaaaaaa121212111212122212()12(1)nnnnnnnnntpppppnppppaaaaaaaaaaaadet()ija()ijmna§2矩阵的运算例某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．其中aij表示上半年工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．其中cij表示工厂下半年向第i家商店发送第j种货物的数量．111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111112121313141421212222232324243131323233333434acacacacacacacacacacacac111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111112121313141421212222232324243131323233333434acacacacacacacacacacacac解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量一、矩阵的加法定义：设有两个m×n矩阵A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵A与B的和记作A＋B，规定为111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.121221113212233132233232ababaaaaaaba111311132123212331331212222233233213aaaaaaaaaabababaaa知识点比较111311131113212321232123313331312121212222222223232321333233aaaaaababababababaaaaaaaaaaaaa111311131113212321232123313331331212121222222222323232323133222222aabababaaaaaaaaaaaaaaaaaababab交换律结合律其他矩阵加法的运算规则,,abcRabba()()abcabcABBA()()ABCABC,()ABAB设A、B、C是同型矩阵设矩阵A=(aij)，记，称为矩阵A的负矩阵．显然AOAAOOAAAA)(ijaA15例如102526151522,102030121720BABA423227204556101025202630151215172220BA102526151522,102030121720BA054322BA设工厂向某家商店发送四种货物各l件，试求：工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量．例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．1112212231324142bbbbbbbb1112212231324142bbbbbbbb1112212231324142bbbbbbbbllllllll1112212231324142bbbbbbbb1112212231324142bbbbbbbbllllllll解：工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量l其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．二、数与矩阵的乘法(矩阵的数乘)定义：数l与矩阵A的乘积记作lA或Al，规定为111212122211nnmmmnaaaaaaAAaaalllllllllll一个数乘以矩阵就是用该数乘以矩阵的所有的元素20例如AB4102030121720A48068484080120结合律分配律备注数乘矩阵的运算规则,,abcR()()abcabc()abcacbc()()AAll()AAAll()cabcacb()ABABlll设A、B是同型矩阵，l,是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.AA1OA0ABAl，例设942631A304122B求.BA43解3041224942631343BA120164882712618931512101415111213212223313233aaaaaaaaalll111213212223313233aaaaaaaaalll111213212223313233aaaaaaaaal知识点比较111213111213212223212223313233313233aaaaaaaaaaaaaaaaaallllllllll例（续）某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：空调冰箱29``彩电25``彩电甲商店30205020乙商店07100丙商店50405050505040500107020502030A这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：售价重量空调3040冰箱163029``彩电223025``彩电18202018302230164030B试求：工厂向三家商店所发货物的总售价及总重量分别是多少？26C甲商店乙商店丙商店售价重量11c505040500107020502030A2018302230164030B12c21c22c31c32c11c1111ab1221ab1331ab1441ab182022501620303026802680三、矩阵的乘法定义：设，，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵，其中()ijmsAa()ijsnBb()ijCc11221sijijisijsjkkkijcabababab(1,2,;1,2,,)imjn并把此乘积记作C=AB．说明：的元就是的第行元素与的第列元素对应乘积之和.C),(jiijcABij03410121211130,3110514121AB例：设567102621710AB则29特别注意:乘积不可交换可乘的前提是的列数等于的行数，否则不可乘.ABAB11121311122122232122313233bbbaabbbaabbb没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.2）,,1331BAAB和均有意义，但AB为1阶矩阵为3阶矩阵，不相等；BABA乘积一般不可以交换，AB1）AB为矩阵，但BA无意义；,,3112BA3231232110321231369246123例如若,BAAB则称矩阵乘积可交换.BA、例222224243612220000,AOBOAOBO矩阵却有AB=0，从而不能由AB=0得出或的结论.矩阵乘法不满足交换律，所以矩阵相乘时必须注意顺序.,AXXAAXAB左乘称为用右乘称为用矩阵乘法的运算规律(1)乘法结合律()()ABCABC(3)乘法对加法的分配律(2)数乘和乘法的结合律（其中l是数）()ABABll(4).kBABkAABkk为常数，若ACABCBA左分配律CABAACB右分配律定义若A是n阶方阵，定义kkAAAA性质,()klklklklAAAAA四、矩阵的幂;1AA;112AAA11;AAAkk为正整数其中k特别注意kkkBAAB)(1222BAABABABABAB)(22222BABABA)(222BBAABABABABA)(223BABABA))((22BBAABABABA))((若A与B可交换(即AB=BA),则以上不等式将变成等式.五、矩阵的转置定义：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵(Transpose)，记作AT.例,aAij85422132；则82524143ijTbA设A=(𝒂𝒊𝒋)𝒎×𝒏，AT=(𝒃𝒊𝒋)𝒏×𝒎,则𝒃𝒊𝒋=𝒂𝒋𝒊（𝒊=𝟏,⋯𝒏;𝒋=𝟏,⋯,𝒎）823b32a转置矩阵的运算性质(1)();TTAA(2)();TTTABAB(3)();TTAAll(4)().TTTABBA例：已知171201,423,.132201TA