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高三寒假复习讲义第八章立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积和体积考点一三视图与直观图1多面体的图形与结构特征图形结构特征棱柱两个面互相平行，其余各面是四边形，侧棱互相平行棱锥底面是多边形，侧棱交于一点棱台上、下底面平行且相似，侧棱的延长线交于一点2旋转体的图形与结构特征图形结构特征圆柱两个底面互相平行，有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，过轴的截面是全等的矩形圆锥底面是圆面，有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰三角形圆台上、下底面平行且不相等，母线的延长线交于一点，平行于底面的截面是与两底面大小都不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰梯形续表三视图的定义光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图(或主视图)；光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图(或左视图)；光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．4三视图的长度特征“长对正、宽相等、高平齐”，即正视图和俯视图长对正，侧视图和俯视图宽相等，正视图和侧视图高平齐．5用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．6用斜二测画法画空间几何体的直观图空间几何体的直观图要比平面图形的直观图多画一个z轴，z轴是与空间几何体的高平行的．注意点画三视图时注意的问题(1)画三视图时，能看见的线和棱用实线表示，不能看见的线和棱用虚线表示．(2)一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同.1．思维辨析(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()(5)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱．()(6)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2．如图，直观图所表示的平面图形是()A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案D解析由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后如图AC∥y轴，BC∥x轴．所以△ABC是直角三角形．故选D.3．如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是()答案C解析此几何体侧视图是从左边向右边看，故C符合题意．[考法综述]柱、锥、台、球的定义和相关性质是立体几何初步的基础，尤其是它们的结构特征，主要是培养学生的空间想象能力和应用图形语言交流的能力，通过三视图可以画出其三视图或由直观图识别三视图，并进行相关的计算．命题法空间几何体的结构特征、三视图及直观图典例(1)给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是()A．①②③④B．②③④⑤C．③④⑤⑥D．①②③④⑤⑥(2)如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是()[解析](1)①错误，因为棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，根据面面垂直的判定定理判断；④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图所示，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知，因此，正确命题的序号是③④⑤⑥.(2)正视图中两条投影落在长方形内，侧视图中被遮挡的线条用“虚线”．[答案](1)C(2)D【解题法】三视图问题的解题策略(1)由三视图还原直观图的方法①还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体．②注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线．③想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体．(2)已知三视图中的某两个，求余下一个的三视图的方法先根据已知的三视图中的某两个，还原、推测直观图的可能形式，找余下一个三视图的可能形式．作为选择题，也可将选项依次代入，再看看给出的三视图是否符合．1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1B．2C．4D．8答案B解析由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成的，其表面积为πr2＋2πr2＋4r2＋2πr2＝20π＋16，所以r＝2，故选B.2．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15答案D解析如图，不妨设正方体的棱长为1，则截去部分为三棱锥A－A1B1D1，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15.故选D.3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A．62B．6C．42D．4答案B解析如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4.取B1B的中点G，即三棱锥G－CC1D1为满足要求的几何体，其中最长棱为D1G，D1G＝422＋22＝6.4．在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，2)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D－ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1答案D解析三棱锥D－ABC如图所示．S1＝S△ABC＝12×2×2＝2，S2＝12×2×2＝2，S3＝12×2×2＝2，∴S2＝S3且S1≠S3，故选D.5.一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()答案B解析俯视图为在水平投射面上的正投影，结合几何体可知选B.6．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱答案A解析因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选A.7．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2B.38a2C.68a2D.616a2答案D解析如图①、②所示的平面图形和直观图．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.∴S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.8．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案B解析因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立，故选B.9．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案A解析①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定是．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．10．已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()答案C$来&源：ziyuanku.com解析由已知条件得直观图如图所示，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线．故选C.11．如图，三棱锥V－ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为()A.32B.33C.34D.36答案B解析设三棱锥V－ABC的底面边长为a，侧面VAC边AC上的高为h，则ah＝43，其侧视图是由底面三角形ABC边AC上的高与侧面三角形VAC边AC上的高组成的直角三角形，其面积为12×32×43＝33，故选B.考点二表面积1多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．2旋转体的侧面积和表面积(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l)．(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl)．(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.注意点侧面积与表面积的区别与联系(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理.1．思维辨析(1)圆柱的侧面展开图是矩形．()(2)三棱锥的侧面展开图是一个三角形．()(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()答案(1)√(2)×(3)√2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A．32B．16＋162C．48D．16＋322答案B解析由三视图知，四棱锥是底面边长为4，高为2的正四棱锥，∴四棱锥的表面积是16＋4×12×4×22＝16＋162，故选B.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．答案38解析由三视图可知该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2×(4×3＋3×1＋4×1)＝38，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38.[考法综述]高考对空间几何体的表面积的考查，主要借助于三视图和不规则图形，而不是单纯应用公式，因此在掌握柱、锥、台、球的表面积公式及其推导过程的基础上，还要掌握一些组合体表面积的处理方法．命题法根据几何体的特征或三视图求表面积典例某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．180B．200C．220D．240[解析]由三视图知该几何体是