正弦函数和余弦函数的图像与性质

第六章三角函数5.6.4正弦定理、余弦定理和解斜三角形6.1.1正弦函数和余弦函数的图像与性质一、正弦函数和余弦函数的概念实数集与角的集合可以建立一一对应的关系，每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值.因此，任意给定一个实数，有唯一确定的值xsin(cos)xx与之对应.函数sinyx叫做正弦函数函数cosyx叫做余弦函数正弦函数和余弦函数的定义域是R正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]二、正弦函数的图像正弦函数在区间上的图像.sinyx[0,2]'OPM00(,sin)Sxx思考如何利用正弦线确定点的坐标？00(,sin)xxAOyx知道作函数图像上一个点，yxsinyx二、正弦函数的图像正弦函数在区间上的图像.sinyx[0,2]就可作出一系列的点，例如11,,,,6326O6322356764332532116最后将函数在区间上的图像左右sinyx二、正弦函数的图像正弦函数在区间上的图像.sinyx[0,2]平移(每次个单位)，就可以得到[0,2]2sin,yxxR的图像.12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520xyO11232正弦函数的图像叫做正弦曲线sin,yxxR例1.试画出正弦函数在区间上的图像.[0,2]12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520xOy112232五个关键点：3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22利用五个关键点作简图的方法称为“五点法”三、余弦函数的图像根据诱导公式可知余弦函数cossin()2xxcosyx的图像可由的图像向左平移sinyx2个单位得到.12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520xyO11232sinyxcosyx余弦函数的图像叫做余弦曲线cos,yxxR例2.试画出余弦函数在区间上的图像.[0,2]12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520xOy112232五个关键点：3(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1)22并注意曲线的“凹凸”变化.课堂练习1.作函数与在2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.sinyxsin1yx[0,2]上的大致图像.3.作函数的大致图像.cos,[,]yxx4.利用3.解不等式：cossin,[,]xxx课堂练习答案1.xsinx0101023202sin,[0,2]yxxsin1,[0,2]yxxxsinx2320200101sin1x0112112108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520xyO212108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520xyO22.课堂练习答案sinyx与的图像关于轴对称；sinyxxsin1yx的图像为的图像向上平移1sinyx个单位.3.xcosx20210101cos,[,]yxx12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520xyO2214.根据上图可知，解集为3[,]44第六章三角函数6.1.1正弦函数和余弦函数的图像与性质6.1.2正弦函数和余弦函数的图像与性质一、正弦函数的值域与最值2,2Zkkx正弦函数的值域是[1,1]当且仅当时，正弦函数取得最大值1；当且仅当时，正弦函数取得最小值-1.2,2Zkkx12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520xyO11232OPMyx二、余弦函数的值域与最值2,kZxk余弦函数的值域是[1,1]当且仅当时，余弦函数取得最大值1；当且仅当时，余弦函数取得最小值-1.,2kkZx12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520xy0112325223252OPMyx例1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时的自变量的值.x(1)23(sin)22yx(2)2cosyx解:(1)max2y当时，2,xkkZmin2y当时，2,xkkZ(2)视为23()2,sin2yuux当，即时，1u2,2xkkZmax174y当，即时，1u2,2xkkZmin74y例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时的自变量的值.x(1)sin(2)4yx(2)3sincosyxx解:(1)视为sin,24yuux当，即时，max1y,8xkkZ22uk当，即时，min1y3,8xkkZ22uk例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时的自变量的值.x(1)sin(2)4yx(2)3sincosyxx解:(2)3sin22yx当，即时，max32y,4xkkZ22uk当，即时，min32y,4xkkZ22uk，视为3sin,22yuux解毕例3.动点绕原点作逆时针匀速圆周运动，(,)PxyO初始位置如图所示，角速度为.2/radst(1)建立与运动时间(秒)的函数关系式.yt(2)求运动到最高点时的的值.POPyx303解:(1)3sin(2),06ytt(2)，max3y2262tk此时解得6tk,0,1,2,k解毕课堂练习2cos2sin1yxx1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时x的自变量的值.(1)(2)cos3xy22cossin2yxx(1)(2)cos(2)4yx2.要求同第1题.3.如图，当为何值时，''''ABCD矩形周长最大？ABCD'A'B'C'Dab课堂练习答案1.(1)cos3xymin1y当时，6,xkkZmax1y当时，63,xkkZ(2)2(sin1)3yxmax3y当时，2,2xkkZmin1y当时，2,2xkkZ课堂练习答案2.(1)cos(2)4yxmin1y当时，5,8xkkZmax1y当时，,8xkkZ(2)sin2cos21yxx2sin(2)14xmax12y当时，,8xkkZmin12y当时，3,8xkkZABCD'A'B'C'Dab3.如图，当为何值时，''''ABCD矩形周长最大？课堂练习答案解：设矩形周长为''''ABCDy2('''')yBCCD2(sincossincos)bbaa22()sin()4ab当时，4,02max22()yab解毕第六章三角函数6.1.2正弦函数和余弦函数的图像与性质6.1.3正弦函数和余弦函数的图像与性质OPM12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520xyO11232匀速圆周运动中用函数变量之间的关系如何描述？“周而复始”的现象一、函数周期性的定义一般地，对于函数，如果存在非零常数()fxT使得对于定义域内的每一个自变量值，都有x(+)()fxTfx那么函数叫做周期函数，()fx非零常数叫做T这个函数的周期.思考也是周期吗？2,3,4,TTT周期函数有多少个周期？一、函数周期性的定义一般地，对于函数，如果存在非零常数()fxT使得对于定义域内的每一个自变量值，都有x最小正周期一个周期函数的全部周期中若存在一个最小正数，那么这个最小的正数就叫做这个周期函数的最小正周期.(+)()fxTfx那么函数叫做周期函数，()fx非零常数叫做T这个函数的周期.二、正弦函数与余弦函数的周期正弦函数是周期函数，2,,0kkZk都是它的周期，最小正周期是2余弦函数是周期函数，2,,0kkZk都是它的周期，最小正周期是2对于任意xR都有sin(2)sin,xkxkZcos(2)cos,xkxkZ注：一般三角函数的周期都是指最小正周期例1.求下列函数的周期：(1)()cos2fxx(2)1()sin()26fxx解:(1)设的周期为cos[2()]cos2xTx()fxT()()fxTfx即cos(22)cos2xTx即即cos(2)cosuTu对任意都成立：u因此22T，从而T解毕解:(2)1()sin(2)26fxx1sin[(4)]26x(4)fx因此周期为4思考试说明周期与此类函数的什么相关？具体关系是什么？例1.求下列函数的周期：(1)()cos2fxx(2)1()sin()26fxx解毕二、正弦函数与余弦函数的周期正弦函数是周期函数，2,,0kkZk都是它的周期，最小正周期是2余弦函数是周期函数，2,,0kkZk都是它的周期，最小正周期是2函数及函数sin()yAxcos()yAx(其中是常数，),,A0,0A最小正周期是2T50403020100/hmm123/ts例2.若钟摆的高度与时间之间的函数()hmm()ts关系如图所示.(1)求该函数的周期；(2)求时钟摆的高度.10ts解:(1)31.5T1.5()s(2)(10)h(1)h(11.56)h20因此10秒时，钟摆高度为20mm解毕课堂练习1.求周期：(1)cos2xy(2)12sin()34yx2.若函数的最小正周期是()sin()5fxkx23求正数的值.k3.求周期：(1)sincosyxx(2)2sin22sinyxx4.已知的定义域为，且满足()fxR(3)()fxfx证明是周期函数并求出它的周期.()fx课堂练习答案1.(1)240.5T(2)261||3T2.3.(1)1sin2,2yxT(2)2sin(2)1,4yxT223Tk，解得3k课堂练习答案4.已知的定义域为，且满足()fxR(3)()fxfx证明是周期函数并求出它的周期.()fx证：(3)()fxfx[(3)3](3)fxfx对于任意都成立.xR(6)(3)fxfx[()]()fxfx上式对于任意都成立.xR因此是周期为6的周期函数.()fx证毕课外阅读材料正弦函数的最小正周期求证：正弦函数的最小正周期()sin,fxxxR为2证：反证法假设存在满足：02Tsin()sin,xTxxR则sin()sin122T与sin()cos12TT矛盾因此假设不成立，又显然是周期，2所以正弦函数的最小正周期是2证毕第六章三角函数6.1.3正弦函数和余弦函数的图像与性质6.1.4正弦函数和余弦函数的图像与性质一、正弦函数与余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，图像关于原点对称；余弦函数是偶函数，图像关于轴对称.对于任意xR都有sin()sinxxcos()cosxxy12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520xyO1123212108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520xy0112325223252二、正弦函数与余弦函数的单调性12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520xyO11