2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第49讲 空间向量的概念及运算

1.了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.1.空间向量的有关概念（1）空间向量:在空间,我们把具有①和②的量叫做向量,其大小叫做向量a的长度或模，记作|a|.(2)单位向量：长度或模为③__________的向量．(3)零向量：长度或模为④__________的向量．(4)相等向量：方向⑤__________且模⑥__________的向量．大小方向10相同相等(5)相反向量：方向⑦_________且模⑧__________的向量．(6)共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a∥b.(7)共面向量：平行于同一⑨__________的向量叫做共面向量．相反相等平面abpxyab2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理及其推论共线向量定理：空间任意两个向量a，b（b=0），a∥b的充要条件是存在实数，使⑩__________.(2)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使⑪__________.OD={}.1)ABCDxabcpxyzpxOAyOBzOCxyz空间四点、、、共面空间任意使空间向量基本定理如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序数组，，，使得(其中xxyz空间向量基本定理如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序数组，y，z，使得abcpp=a+b+3c.(4)向量对实数加法的分配律：⑮__________(5)数乘向量的结合律：⑯__________.3．向量线性运的运算律(1)加法交换律：⑫__________(2)加法结合律：⑬__________(3)数乘分配律：⑭__________a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)λ(a+b)=λa+λba(λ+μ)=λa+μa)aa（OA=,,__________0p__________.aOBbababababbaabab作则⑰叫做向量与的夹角，记作〈，〉，且规定〈，〉，显然有〈，〉〈，〉；〉；若⑱，则称与互相垂直，记作：4．空间向量的数量积及其运算律(1)空间向量的夹角及其表示已知两非零向量，b，在空间任取一个点O，∠AOB2ab〈，〉a(2)数量积及坐标运算(2)已知向量a，b，则⑲__________叫做a，b的数量积，记作a×b.(3)空间向量数量积的运算律结合律：________________________；交换律：________________________;分配律：________________________。cosabab〈，〉()()()baabababbaabcabacab5．空间向量的坐标表示及应用(设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2))(1)坐标运算a±b=________________________；λa=________________________；=________________________；121212(,,)xxyyzz123(,,)xyz121212xxyyzz121212222111121212222222111222111222(1)//(2)0__________________(3);(4)cos(5)()()________)_(_2xxyyzzaxyzxxyyzzxyzxyzAxyzBxyzABababababaaab坐标应用共：，，；垂直：；模：夹角：〈，〉距离：设，，，，，则___________.1212120xxyyzz222212121xxyyzz1.已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB→＋12(BD→＋BC→)等于()A.AG→B.CG→C.BC→D.12BC→【解析】AB→＋12(BD→＋BC→)＝AB→＋BG→＝AG→，故选A.2.与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是()A．(13，1,1)B．(－1，－3,2)C．(－12，32，－1)D．(2，－3，－22)【解析】(－12，32，－1)＝－12(1，－3,2)＝－12a，故选C.3.(2012·华附月考)有4个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】①正确，②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb不成立；③正确，④中若M、A、B共线，点P不在此直线上，则MP→＝xMA→＋yMB→不正确，故选B.4.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AD|＝2，|DC|＝3，|AA1|＝4，A1B与AB1相交于点E，则点E的坐标为()A．(2,2，32)B．(2，32，2)C．(32，1,2)D．(1，32，2)【解析】由题意知，A(2,0,0)，B1(2,3,4)，E(x，y，z)是AB1的中点，所以x＝2＋22＝2，y＝0＋32＝32，z＝0＋42＝2，所以点E的坐标为(2，32，2)．5.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且向量a与b夹角的余弦值为89，则λ＝－2或255.【解析】由已知cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝6－λ3·5＋λ2＝89，解得λ＝－2或255.一空间向量的线性运算【例1】如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG→＝2GN→，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则x，y，z的值分别为____________．【解析】连接ON，则OG→＝OM→＋MG→＝OM→＋23MN→＝OM→＋23(MO→＋ON→)＝13OM→＋23ON→＝13·12OA→＋13(OB→＋OC→)＝16OA→＋13OB→＋13OC→.故x＝16，y＝13，z＝13.【点评】用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC．－12a－12b＋cD.12a－12b＋c素材1【解析】BM→＝BB1→＋B1M→＝BB1→＋12(B1A1→＋B1C1→)＝AA1→＋12(－AB→＋AD→)＝c＋12b－12a.故选A.二共线、共面向量定理的运用【例2】已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM→＝13(OA→＋OB→＋OC→)．(1)判断MA→、MB→、MC→三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．【解析】(1)由已知OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，所以OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)，即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，所以MA→，MB→，MC→共面．(2)由(1)知，MA→，MB→，MC→共面且基线过同一点，所以四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．【点评】应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较；已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．用向量法证明：E，F，G，H四点共面．素材2【分析】空间向量的概念→空间向量的线性运算→共面向量定理【解析】如图所示，连接BG，则EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋12BD→＝EF→＋EH→.由共面向量定理知E，F，G，H四点共面．三空间向量的数量积及其应用【例3】在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则D、B间的距离是__________．【解析】因为∠ACD＝90°，所以AC→·CD→＝0.同理，BA→·AC→＝0.因为AB与CD成60°角，所以〈BA→，CD→〉＝60°或120°.又因为BD→＝BA→＋AC→＋CD→，所以BD→2＝BA→2＋AC→2＋CD→2＋2BA→·AC→＋2BA→·CD→＋2AC→·CD→＝BA→2＋AC→2＋CD→2＋2BA→·CD→＝3＋2×1×1×cos〈BA→，CD→〉＝4，〈BA→，CD→〉＝60°2，〈BA→，CD→〉＝120°.所以|BD→|＝2或2，即B、D间的距离为2或2.【点评】①求向量m和n所成的角，首先应选择合适的基底，将目标向量m和n用该组基底表示出来，再求他们的数量积及自身长度，最后利用公式cos〈m，n〉＝m·n|m||n|求得．②在向量性质中，|a|2＝a·a是向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题．③运用数量积的定义及性质可以解决立体几何中求异面直线所成的角、求两点间距离或线段长度以及证明线线垂直、线面垂直等问题．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面给出四个命题：①|A1A→＋A1D1→＋A1B1→|2＝3|A1B1→|2；②A1C→·(A1B1→－A1A→)＝0；③AD1→与A1B→的夹角为60°；④此正方体体积为|AB→·AA1→·AD→|.则错误命题的序号是③④(填出所有错误命题的序号)．素材3【解析】|A1A→＋A1D1→＋A1B1→|＝|A1C→|＝3|A1B1→|，所以正确．②因为A1C→·(A1B1→－A1A→)＝A1C→·AB1→，由三垂线定理知A1C→⊥AB1→，所以正确．③AD1与A1B两异面直线的夹角为60°，但AD1→与A1B→的夹角为120°，A1B→＝D1C→，注意方向．④因为AB→·AA1→＝0，正确的应是|AB→|·|AA1→|·|AD→|.四空间向量的坐标运算及应用【例4】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.M∈AC，N∈C1D，且MN⊥AC，MN⊥C1D，试求MN的长．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件及向量垂直的条件建立方程组，求得M、N两点的坐标，再求|MN→|.【解析】如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，C1(1,1,1)．所以AC→＝(1,1,0)，C1D→＝(－1,0，－1)．设AM→＝xAC→＝(x，x,0)(0≤x≤1),C1N→＝yC1D→＝(－y,0，－y)(0≤y≤1)，则MN→＝AN→－AM→＝AC1→＋C1N→－AM→＝(1,1,1)＋(－y,0，－y)－(x，x,0)＝(1－x－y,1－x,1－y)．由AC→⊥MN→，C1D→⊥MN→，得1－x－y＋1－x＝0－1－x－y－1－y＝0，解得x＝23y＝23，所以MN→＝(－13，13，13)，|MN→|＝33，所以MN＝33.【点评】求空间图形上两点间的距离常用有两种思路：一是将线段放置在直角三角形中，运用勾股定理求解；二是建立空间直角坐标系，求点M、N的坐标，应用两点间距离公式求解．而本题需要用到两个条件：一是向量共线，二是向量垂直，尤其是共线这个条件易被忽视．如图所示，在空间直角坐标系中BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是(32，12，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.(1)求向量OD→的