2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第66讲 随机事件的概率、古典概型与几何概型

1．了解随机事件的含义，了解频率与概率的区别．2．理解古典概型，掌握其概率计算公式，会求一些随机事件发生的概率．3．了解几何概型的意义及其概率的计算方法，会计算简单几何概型的概率．4．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．1S__________S2S__________S3S__1_________S必然事件：在条件下，①的事件称为相对于条件的必然事件．不可能事件：在条件下，②的事件称为相对于条件的不可能事件．随机事件：在条件下，③的事件称为相对于条件的随．事件机事件．1322如果试验满足下列三个特性：可以在相同的条件下重复进行；每次试验的结果具有多种可能性，试验前可以明确知道所有的可能结果；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现，则称该试验为随．随机试验机试验．1_________3_AnAnAnAAA频数与频率：在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为．频率和概率事件出现的频数，称事件出现的比例④为事件出现的频率．2__________.AAA概率：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件发生的频率具有稳定性．这时，把这个常数叫做随机事件的概率，记作⑤__________(0)(1)4任何事件的概率是⑥之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率接近事件很少．随机发生，而大概率接近事件则经事件的概率常发生．5基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，每次试验只出现其中的一个基本事件，其他事件可以用它们．基本事件来表示．1()2_______.6把具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：试验的所有可能结果基本事件只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；每一个试验结果出现．古典概型的可能性⑦7()8nAmA__________.A．古典概型的概率计算公式．对于古典概型，若试验的所有基本事件数为，随机事件包含的基本事件数为，则事件的概率为⑧如果事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积、体积成比例，则称这样的概率模型为几几何概型何概型．____________________910.PA一是⑨，即每次试验的基本事件个数可以是无限的；二是⑩，即每个基本事件的发生．几何概型的两个特点．几何概型的概率计是等可算公式能的．⑪11随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数．随机数的机的含义会一样．01 AnPAnmPAnA①一定会发生；②一定不会发生；③可能发生也可能不发生；④；⑤；⑥到；⑦相同；⑧；⑨无限性；⑩等可能性；构成事件的区间长度（面积或体积）⑪试验全部结果所构成的区域长度（面【要点指南】积或体积）1.下列事件中是随机事件的是()A．在标准大气压下，水加热到8℃时会沸腾B．汽车排放尾气，一定污染环境C．把9写成两个数的和，其中有一个数小于3D．任取一个正方体的三个顶点，这三个顶点不共面【解析】由必然事件，不可能事件和随机事件的含义判断选项A、D是不可能事件，B是必然事件，而C是随机事件，故选C.2.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次该项试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()A．0B.13C.12D.23【解析】1－P(ξ＝0)＝2P(ξ＝0)，即P(ξ＝0)＝13.3.某射击运动员射击命中9环以上的概率为40%，射击中心用随机模拟的方法估计这名射击运动员三次射击中命中9环以上两次的概率，先由计算器产生0～9之间取整数值的随机数，指定0,1,2,3表示命中9环以上，4,5,6,7,8,9表示没有命中9环以上，再以每三个随机数为一组，代表三次射击结果，经随机模拟产生如下10组随机数：431,257,392,023,551,488,731,752,534,989据此估计该运动员射击三次恰好有两次命中9环以上的概率为0.3.【解析】表示恰好两次命中9环以上的随机数组有：431,392,731，共三组，因此射击三次恰有两次命中9环以上的概率P＝310＝0.3.4.把10张质地相同的卡片分别写上数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9后，任意搅乱放入一纸箱内，从中任取一张，则所抽取的卡片上数字小于3的概率是310.【解析】从10张卡片中任取一张共有10种可能，其中小于3的有0,1,2共3种，故所求事件的概率P＝310.5.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于16的概率是12.【解析】设点M1到平面ABCD的距离为h.若VM1－ABCD＝13SABCD·h＝16，则h＝12，可知所有满足到平面ABCD的距离小于12的点M，使得VM－ABCD16，所以点M在以ABCD为底面，高为12，体积为12的长方体内，从而所求概率P＝12V正方体＝12.一古典概型【例1】有10个学生，分别佩带着从1号到10号的校徽，任意取3人记录其校徽的号码．(1)求最小号码为5的概率；(2)求3个号码中至多有一个是偶数的概率；(3)求3个号码之和不超过9的概率．【解析】(1)从10人中任取3人，共有C310种，最小号码为5，相当于从6,7,8,9,10共五个中任取2个，则共有C25种结果．则最小号码为5的概率为P＝C25C310＝112.(2)选出3个号码中至多有一个是偶数，包括没有偶数和恰有一个偶数两种情况，共有C35＋C15C25种．所以满足条件的概率为P＝C35＋C15C25C310＝12.(3)3个号码之和不超过9的可能结果有：(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,2,6)、(1,3,4)、(1,3,5)、(2,3,4)．则所求概率为P＝7C310＝7120.【点评】古典概型有两个特点：①试验结果有限；②每个试验结果是等可能的．解题时，关键是要找出所有基本事件总数和所求基本事件数，常常需要用到排列组合、列举的方法和分类讨论的思想．现有7名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各一名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1不全被选中的概率．素材1【解析】从7人中分别选出数学、物理、化学成绩优秀者各一名，共有C13C12C12＝12种，而C1被选中，共有C13C12＝6种，故C1被选中的概率P1＝612＝12.(2)用N表示事件“A1，B1不全被选中”，由于A1，B1全被选中共有C12＝2种，从而A1，B1不全被选中共有12－2＝10种，故P(N)＝1012＝56.二几何概型及计算【例2】(2011·福建卷)(1)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A.14B.13C.12D.23(2)(2011·湖南卷)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(ⅰ)圆C的圆心到直线l的距离为________；(ⅱ)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．(3)(2011·江西卷)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为__________．【解析】(1)因为S△ABE＝12|AB|·|BC|，S矩形＝|AB|·|BC|，则点Q取自△ABE内部的概率P＝S△ABES矩形＝12，故选C.(2)(ⅰ)圆心到直线的距离为d＝|－25|32＋42＝5.(ⅱ)当圆C上的点到直线l的距离是2时有两个点为点B与点D，设过这两点的直线方程为4x＋3y＋a＝0，同时可得到圆心到直线4x＋3y＋a＝0的距离为OC＝3.又圆的半径为r＝23，可得∠BOD＝60°，由图可知点A在弧BD上移动，弧长lBD＝16×c＝c6，圆周长为c，故P(A)＝lBDc＝16.(3)设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－122π－142ππ＝1316.【点评】几何概型的特征是：基本事件是由某一区间上某区域内，某几何体内的点构成，其概率P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.(1)假设车站每隔10分钟发一班车，若某乘客随机到达车站，求其等车时间不超过3分钟的概率为0.3.(2)如图，在一个边长为a(a0)的正方形内画一个半圆，其半径为r(0r≤a2)，向该正方形内随机投一点，则所投的点落在半圆内部的概率为πr22a2.素材2【解析】(1)要使得等车的时间不超过3分钟，即到达的时刻应该是下图中A包含的时间点．故P＝A的长度S的长度＝310＝0.3.(2)记A＝{所投的点落在半圆内部}．因为S正方形＝a2，S半圆＝12πr2＝πr22，所以P(A)＝πr22a2＝πr22a2.故所投的点落在半圆内部的概率是πr22a2.三频率估计概率及应用【例3】(2011·陕西卷)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用的时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．【解析】(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人，用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：(3)A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6；P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，则P(A1)P(A2)，故甲应选择L1；因为P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，则P(B2)＞P(B1)，所以乙应选择L2.【点评】虽然频率与概率的含义有差异，一般地概率是频率的近似值，但在实际问题中常常用频率估计对应事件发生的概率，同时在研究实际问题要求收集数据，整理数据，并分析数据的意义．某运动员进行20次射击练习，记录了他射击的有关数据，得到下表：(1)求此运动员射击环数的平均数；(2)若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果，在四个结果中，随机取2个不同的结果作为基本事件进行研究，记这两个结果分别为m次，n次，每个基本事件为(m，n)，求“m＋n≥10”的概率．素材3【解析】(1)运动员射击的总的次数为2＋7＋8＋3＝20，则运动员射击环数的平均数为120(2×7＋7×8＋8×9＋3×10)＝17220＝8.6.(2)记A表示事件“m＋n≥10”，基本事件(m，n)的所有结果数为A24＝4×3＝12种，而事件A所包含的结果为(2,8)，(7,8)，(3,8)，(3,7)，(8,2)，(8,7)，(8,3)，(7,3)共8种，故P(A)＝812＝23.备选例题(2011·惠州市第一次模拟)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域x＋y－8≤0x0y0内的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．【解析】(1)因为函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝2ba，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a0且2ba≤