动态法测量固体材料的杨氏模量

1实验11动态法测量固体材料的杨氏模量（一）讲课提纲【教学目的】1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。3．了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。4．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。【教学要求】1．了解测量杨氏模量的主要方法，理解动态法测量杨氏模量的基本原理。2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。3．了解压电换能器的功能，学习信号源和数字存储示波器的使用。4．理解共振频率的基本概念，掌握利用示波器观测共振频率的基本方法。5．了解基频共振的基本概念，学会判断基频共振的基本方法。6．理解外延法测量物理量的基本思想，掌握外延法测量基频共振频率的基本原理和实现方法。7．学会直接测量量和间接测量量不确定度的估算，完整表示实验结果。【实验设计思想与实现方法】1．杨氏模量杨氏模量的定义与物理意义，测量杨氏模量的理论研究和工程应用意义，测量杨氏模量的基本方法――静态法和动态法。静态法的基本原理，拉伸法测量钢材的杨氏模量，压缩法测量金属材料的杨氏模量。静态法的优缺点，为什么要用动态法？2．动态法的基本思想动态法――动――振动，振动规律，数学语言描述，四阶偏微分方程，求解出杨氏模量与样品参数和振动频率的关系，对圆棒试样，直径与长度满足dL时2436067.1fdmLE，测量杨氏模量，需要测量直径d、长度L、质量m和振动频率f等4个物理量。直径d、长度L、质量m的测量，分别提供了直尺、游标卡尺、千分尺和电子天平。实验的关键是测量振动频率。即如何使样品振动，怎样检测振动状态是基频振动，测出基频共振频率。3．动态法的实现功率函数信号发生器作为激励振动的电源，采用压电换能器实现试样的振动和振动状态的接收，通过数字存储示波器观测共振状态，鉴定基频共振，测量共振频率。4．实验装置与使用2【课堂讨论问题】1．掌握杨氏模量的基本概念，了解测量杨氏模量的主要方法。2．掌握固有频率和共振频率的概念，了解用示波器观察共振现象的基本方法。3．了解外延测量法及其适用条件。4．了解动态法测量杨氏模量的基本原理。5．了解动态法测量杨氏模量的基本过程及其注意事项。【注意事项】1．千万不能用力拉悬丝，否则会损坏膜片或换能器。悬挂试样或移动悬丝位置时，应轻放轻动，不能给予悬丝冲击力。2．换能器由厚度约为0.1～0.3mm的压电晶体用胶粘接在0.1mm左右的黄铜片上构成，故极其脆弱。测定时一定要轻拿轻放，不能用力，也不能敲打。3．试样棒不能随处乱放，要保持清洁；拿放时应特别小心，避免弄断悬丝摔坏试样棒。4．安装试样棒时，应先移动支架到既定位置后再悬挂试样棒。5．实验时，悬丝必须捆紧，不能松动，且在通过试样轴线的同一截面上，一定要等试样稳定之后才可正式测量。6．尽可能采用较小的信号激发，激振器所加正弦信号的峰－峰值幅度限制在6V内，这时发生虚假信号的可能性较小。7．信号源、换能器、放大器、示波器等测试仪器均应共“地”。8．悬挂点或支撑点如在节点时极难进行测量；全放在端点，测量虽很方便但易引入系统误差。9．如试样材质不均匀或呈椭圆形，就会有多个共振频率出现，这时只能通过更换合格试样来解决。3（二）实验报告弹性模量包括杨氏模量（E）和切变模量（G），是表征固体材料弹性性质的重要力学参数，反映了固体材料抵抗外力产生形变的能力。弹性模量也是进行热应力计算、防热与隔热层计算、选用机械构件材料的主要依据之一。因此，精确测量弹性模量对理论研究和工程技术都具有重要意义。杨氏模量是固体材料在弹性形变范围内正应力与相应正应变的比值，其数值的大小与材料的结构、化学成分和加工制造方法等因素有关。杨氏模量的测量是物理学的基本测量之一，属于力学的范围。测量杨氏模量有多种方法，可分为静态法、动态法和波传播法三类。静态法（包括拉伸法、扭转法和弯曲法）通常适用于在大形变及常温下测量金属试样。静态法测量载荷大、加载速度慢并伴有弛豫过程，对脆性材料（如石墨、玻璃、陶瓷等）不适用，也不能在高温状态下测量。波传播法（包括连续波法和脉冲波法）所用设备复杂、换能器转变温度低且价格昂贵，普遍应用受到限制。动态法（又称共振法或声频法）包括弯曲（横向）共振法、纵向共振法和扭转共振法，其中弯曲共振法所用设备精确易得，理论同实验吻合度好，适用于各种金属及非金属（脆性）材料的测量，测定的温度范围极广，可从液氮温度至3000℃左右。由于在测量上的优越性，动态法在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准（GB/T2105-91）推荐使用的测量杨氏弹性模量的一种方法。本实验就是采用动态弯曲共振法测定常温条件下固体材料的杨氏弹性模量。【实验目的】1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。3．了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。4．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。【实验原理】如图1所示，长度L远远大于直径d（Ld）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为02244tEJySxy（1）棒的轴线沿x方向，式中y为棒上距左端x处截面的y方向位移，E为杨氏模量，单位为Pa或N/m2；ρ为材料密度；S为截面积；J为某一截面的转动惯量，sdsyJ2。横振动方程的边界条件为：棒的两端(x=0、L)是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程（1），令)()(),(tTxXtxy，则有224411dtTdTEJSdxXdX（2）yxxO图1细长棒的弯曲振动yxxL4由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立。假设此常数为K4，则可得到下列两个方程0444XKdxXd（3）0422TSEJKdtTd（4）如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为)cos()(sincos)(4321tbtTKxaKxashKxachKxaxX（5）于是可以得出)cos()sincos(),(4321tbKxaKxashKxachKxatxy（6）式中214SEJK（7）式（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，则根据边界条件可以得到1coschKLKL(8)采用数值解法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系KnL=0，4.730，7.853，10.996，14.137，……(9)其中第一个根K0L=0对应试样静止状态；第二个根记为K1L=4.730，所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或称固有频率，此时的振动状态如图2（a）所示；第三个根K2L=7.853所对应的振动状态如图2（b）所示，称为一次谐波。由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分别距端面0.224L和0.776L。将基频对应的K1值代入频率公式，可得到杨氏模量为232243108870.7109978.1fJmLJSLE（10）如果试样为圆棒(dL)，则644dJ，所以式（10）可改写为2436067.1fdmLE（11）同样，对于矩形棒试样则有(a)n=1(b)n=2图2两端自由的棒作基频振动波形和一次谐波振动波形52339464.6fbhmLE矩（12）式中m为棒的质量，f为基频振动的固有频率，d为圆棒直径，b和h分别为矩形棒的宽度和高度。如果圆棒试样不能满足dL时，式（11）应乘上一个修正系数T1，即12436067.1TfdmLE（13）上式中的修正系数T1可以根据径长比d/L的泊松比查表1得到。表1径长比与修正系数的对应关系径长比d/L0.010.020.030.040.050.060.080.10修正系数T11.0011.0021.0051.0081.0141.0191.0331.055由式（10）～（12）可知，对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算试样的动态杨氏模量，所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有频率。本实验只能测出试样的共振频率，物体固有频率f固和共振频率f共是相关的两个不同概念，二者之间的关系为2411Qff共固（14）上式中Q为试样的机械品质因数。一般Q值远大于50，共振频率和固有频率相比只偏低0.005%，二者相差很小，通常忽略二者的差别，用共振频率代替固有频率。1．杨氏模量的测量动态法测量杨氏模量的实验装置如图3所示。由信号源1输出的等幅正弦波信号加在发射换能器（激振器）2上，使电信号变成机械振动，再由试样一端的悬丝或支撑点将机械振动传给试样3，使试样受迫作横振动，机械振动沿试样以及另一端的悬丝或支撑点传送给接收换能器（拾振器）4，这时机械振动又转变成电信号，该信号经放大处理后送示波器5显示。当信号源的频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有电信号波形或波形很小，只有试样发生共振时，示波器上的电信号突然增大，这时通过频率计读出信号源的频率即为试样的共振频率。测出共振频率，由上述相应的公式可以计算出材料的杨氏模量。这一实验装置还可以测量不同温度下材料的杨氏模量，通过可控温加热炉可以改变试样的温度。2．李萨如图法观测共振频率实验时也可采用李萨如图法测量共振频率。激振器和拾振器的信号分别输入示波器的X和Y通道，示波器处于观察李萨如图形状态，从小到大调节信号发生器的频率，直到出现稳定的正椭圆时，即达到共振状态。这是因为，拾振器和激振器的振动频率虽然相同，但是当激振器的振动频率不是图3动态法测量杨氏模量实验原理图6被测样品的固有频率时，试样的振动振幅很小，拾振器的振幅也很小甚至检测不到振动，在示波器上无法合成李萨如图形（正椭圆），只能看到激振器的振动波形；只有当激振器的振动频率调节到试样的固有频率达到共振时，拾振器的振幅突然很大，输入示波器的两路信号才能合成李萨如图形（正椭圆）。3．外延法精确测量基频共振频率理论上试样在基频下共振有两个节点，要测出试样的基频共振频率，只能将试样悬挂或支撑在0.224L和0.776L的两个节点处。但是，在两个节点处振动振幅几乎为零，悬挂或支撑在节点处的试样难以被激振和拾振。实验时由于悬丝或支撑架对试样的阻尼作用，所以检测到的共振频率是随悬挂点或支撑点的位置变化而变化的。悬挂点偏离节点越远（距离棒的端点越近），可检测的共振信号越强，但试样所受到的阻尼作用也越大，离试样两端自由这一定解条件的要求相差越大，产生的系统误差就越大。由于压电陶瓷换能器拾取的是悬挂点或支撑点的加速度共振信号，而不是振幅共振信号，因此所检测到的共振频率随悬挂点或支撑点到节点的距离增大而变大。为了消除这一系统误差，测出试样的基频共振频率，可在节点两侧选取不同的点对称悬挂或支撑，用外延测量法找出节点处的共振频率。所谓的外延法，就是所需要的数据在测量数据范围之外，一般很难直接测量，采用作图外推求值的方法求出所需要的数据。外延法的适用条件是在所研究的范围内没有突变，否则不能使用。本实验中就是以悬挂点或支撑点的位置为横坐标、以相对应的共振频率为纵坐标做出关系曲线，求出曲线最低点（即节点）所对应的共振频率即试样的基频共振频率。4．基频共振的判断实验测量中，激发换能器、接收换能器、悬丝、支架等部件都有自己共振频率，可能以其本身的基频或高次谐波频率发生共振。另外，根据实验原理可知，试样本身也不只在一个频率处发生共振现象，会出现几个共振峰，以致在实验中难以确认哪个是基频共振峰，但是上述计算杨氏模量的公式（11）～（13）只适用于基频共振的情况。因此，正确的判断示波器上显示出的共振信号是否为试样真正共振信号并且是否为基频共振成为关键。对此，可以采用下述方法来判断和解决。（1）实验前先根据试样的材质、尺寸、质量等参数通过理论公式估算出基频共振频率的数值，在估算频率附近寻找。（2）换能器或悬丝发生共振时可通过对上述部件施加负荷（例如用力夹紧），可使此共