第十五讲 白噪声通过线性系统和等效噪声带宽

111信息科学与工程学院主要内容3.1线性系统基本理论3.2随机信号通过连续时间系统的分析3.3随机信号通过离散时间系统的分析3.4白噪声通过线性系统和等效噪声带宽3.5希尔伯特变换和解析过程3.6窄带随机过程表示方法3.7窄带随机过程包络和相位的特性3.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性222信息科学与工程学院2020/2/2121、由于白噪声在数学上有很好的性质，利用白噪声作为实际噪声的模型，任何随机信号与白噪声结合都会使分析简单化。2、任何一个平稳随机信号都可以看作是白噪声通过某个线性系统的输出，要研究平稳随机信号的统计特性，可以通过对白噪声通过系统的输出进行分析来实现。3、研究白噪声通过系统的输出来衡量系统性能。为什么研究白噪声通过线性系统？333信息科学与工程学院2020/2/2131白噪声通过线性系统分析白噪声是具有均匀功率谱的平稳随机过程。当它通过线性系统后，其输出端的噪声功率不再是均匀的。连续线性系统的传递函数为或)(H)(sH系统输入白噪声功率谱密度为0()2XNS系统输出功率谱密度为20()()2YNSH物理谱密度为20()()0YGHN444信息科学与工程学院2020/2/214输出自相关函数为输出平均功率(系统输出冲击响应为实函数)为2000()|()|()()42jYNNRHedhuhudu2200(0)[()]()2YNREYtHd上式表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱密度主要由系统的频率特性决定，不再保持常数。0N()H原因：无线电系统都是具有一定选择性，系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过。下面主要分析的带宽。|)(|H555信息科学与工程学院2020/2/21523dB带宽(半功率带宽)如果系统特性为低通：3dB带宽定义为幅频特性值下降到最大值的，即时的正频率，这时功率谱下降到峰值功率谱的一半。|()|H12max0.707|()|H0低通信号的3dB带宽(0)H666信息科学与工程学院2020/2/216如果系统特性为带通：3dB带宽定义为幅频特性值下降到时对应正频率的差值。|()|Hmax0.707|()|H21带通信号的3dB带宽3dB带宽对于幅频特性为单峰(在正频率范围内)的系统非常有用，它是测量系统带宽普遍采用的标准。777信息科学与工程学院2020/2/2173等效噪声带宽当系统特性比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特性是困难的。解决上述问题方法：用一个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统。等效噪声带宽：定义为理想系统的带宽，用表示。()He()H888信息科学与工程学院2020/2/218等效噪声带宽按照以下等效原则计算：(1)理想系统与实际系统在同一白噪声激励下,两个系统的输出平均功率相等。(2)理想系统的增益等于实际系统的最大增益。等效原则999信息科学与工程学院2020/2/219等效噪声带宽计算实际线性系统输出端总平均功率理想线性系统的输出总平均功率222000[()]22eweNNKEYtKd2200[()]2NEYtHdmax|()|H功率谱密度为02Ne0w0w白噪声激励K|()|H|()|H(0)H101010信息科学与工程学院2020/2/21102max201eHHd低通系统max()(0)HH)()(0maxHH通常max|()|KH)(H的最大值出现在处00带通系统(中心频率))(H的最大值出现在处0111111信息科学与工程学院2020/2/2111拉氏变换20max2eNPH2max12jejHsHsdsjH系统输出平均功率220max1|()|eHdHmax|()|KH121212信息科学与工程学院2020/2/2112等效噪声带宽仅仅由线性系统特性确定。当线性系统的结构形式和参数确定后，等效噪声带宽与3dB带宽相互之间具有确定的关系。emax()H系统等效噪声带宽能够反映出系统输出噪声的功率(使用计算系统的输出噪声功率)，通常作为比较线性系统性能的判据(如信噪比)。仅用和就可以描述复杂的线性系统及其噪声响应。e131313信息科学与工程学院2020/2/2113例求如图RC电路的等效噪声带宽和3db带宽?CR)(tX)(tY141414信息科学与工程学院2020/2/2114解RC电路传递函数为：可得：则又由得3db带宽为1(),bHbbjRC22max22|()|(0)1,|()|bHHHb2222200max01|()||()|arctan()|2ebHddHbbbb24eebfHz2max22|()|,|()|1bHHb22222bbbHzbf2151515信息科学与工程学院2020/2/21154白噪声通过理想线性系统分析理想系统的等效噪声带宽与系统带宽是相等的，工程上往往把一个实际系统等效成一个理想系统，这样系统的带宽就是等效噪声带宽。白噪声通过理想低通线性系统白噪声通过理想带通线性系统白噪声通过理想高斯线性系统161616信息科学与工程学院2020/2/2116白噪声通过理想低通线性系统A022()H理想低通线性系统的幅频特性0)(AH/2其它171717信息科学与工程学院2020/2/2117输入白噪声的物理谱：0()XGN输出物理谱：220()()()0YXNAGHG0/2其它输出自相关函数：0/220022001()()cos21cos2sin2sin2242YYRGdNAdNANA181818信息科学与工程学院2020/2/2118输出平均功率：222202001(0)[()]cos24YYNAREYtNAd输出相关系数：sin()()2()(0)(0)2YYYYYKRrKR0()YR低通系统输出自相关函数191919信息科学与工程学院2020/2/21190sin()02axdxax0Y000sinsin()2122()()22rdddf输出相关时间：2f202020信息科学与工程学院2020/2/2120结论功率谱的带宽变窄，由输入白噪声的频带无限宽变为输出随机信号带宽为。平均功率由输入端无限大变为输出端有限，且与系统带宽成正比。相关性由输入端不相关变为输出端相关。相关时间与系统带宽成反比。系统带宽越宽，相关时间越小，输出随机信号随时间变化(起伏)越剧烈；反之，系统带宽越窄，相关时间越大，输出随机信号随时间变化就越缓慢。2f212121信息科学与工程学院2020/2/2121白噪声通过理想带通线性系统A000|()|H0)(AH0/2其它理想带通线性系统的幅频特性222222信息科学与工程学院2020/2/2122输入白噪声的物理谱：0()XGN输出物理谱：220()()()0YXNAGHG0/2其它输出相关函数：YY01()()cos2RGddNAcos2102/2/2002000sin(/2)cos()cos2/2ANa理想带通系统输出的相关函数等于其相应的低通系统输出的相关函数与的乘积。0cos232323信息科学与工程学院2020/2/21232/)2/sin(2)(02NAa0cos输出自相关函数等于与的乘积，其中只包含的成分。当满足时，即系统的中心频率远大于系统的带宽，这样的系统称为窄带系统。与相比，是的慢变化函数，而是的快变化函数，可见是的慢变化部分是的包络，而是的快变化部分。)(YR)(a)(a)(0)(a0cos)(a0cos)(a)(YR)(YR0cos)(YR242424信息科学与工程学院2020/2/2124理想带通系统输出的相关函数)(a()YR252525信息科学与工程学院2020/2/2125输出平均功率：220[()]2NAEYt输出相关系数：0sin()()2()cos(0)(0)2YYYYYKRrKR输出相关时间：带通系统的相关时间是由相关系数的慢变部分定义的，因此带通系统的相关时间与低通系统的相关时间一致。fd2122sin00相关时间与系统带宽成反比，表示输出窄带过程的包络随时间起伏变化的快慢程度。262626信息科学与工程学院2020/2/2126白噪声通过理想高斯线性系统高斯带通系统的频率特性)(HA00202()()exp2HA272727信息科学与工程学院2020/2/2127输入白噪声的功率谱：2)(0NSX输出功率谱：220202)(exp2)()()(ANSHSXY输出相关函数：deANRjY22020)(exp221)(deANj)(22200exp4deeANjj2220exp402202404jANee0)(jea2222222eet402222)(eNAa282828信息科学与工程学院2020/2/2128高斯系统输出相关函数)(a()YR292929信息科学与工程学院2020/2/2129等效噪声带宽：2022022()222()002200()()eHdAededAH输出平均功率：20(0)2YRAN输出相关系数:2240()cosYre输出相关时间：22400ed303030信息科学与工程学院2020/2/21305线性系统输出的概率分布线性系统输出端随机信号的概率分布难①系统输入为高斯随机过程，则输出也为高斯随机过程②系统输入为非高斯过程，其等效带宽远大于系统带宽，则输出为高斯过程为什么上述两种情况下成立?313131信息科学与工程学院2020/2/2131线性系统输入为高斯过程，则该系统输出仍为高斯过程。00()()()()()kkYnhkXnkhnkXk输入是高斯序列，在时刻，是一个高斯变量，那么上式是维高斯变量的线性组合(趋于无穷大)。由高斯变量的性质可知，维高斯变量组合仍为高斯分布，因此输出也是高斯分布。()Xkk()Xkkkk()Yn323232信息科学与工程学院2020/2/2132基本思想：是随机变量之和，由中心极限定理可知大量统计独立的随机变量之和接近高斯分布。条件：(1)随机变量必须相互独立。(2)独立随机变量求和的数目要足够多。实际工程应用中，当输入信号的功率谱带宽为系统带宽的7-10倍，可近似认为输出随机过程近似高斯分布。若系统输入的平稳随机过程为非高斯分布，只要输入过程的等效噪声带宽(功率谱带宽)远大于系统带宽时，则系统输出接近于高斯分布的随机过程。()Yn