【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版必修五配套课件：2.2.1-第2课时等差数列的性质

服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课堂互动探究课后知能检测教师备课资源第2课时等差数列的性质服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单●三维目标1．知识与技能理解和掌握等差数列的性质，能选择更方便快捷的解题方法，了解等差数列与一次函数的关系．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单2．过程与方法培养学生观察、归纳能力，在学习过程中体会类比思想、数形结合思想、特殊到一般的思想并加深认识．3．情感、态度与价值观通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，并引导学生从不同角度看问题，解决问题．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单●重点难点重点：理解等差中项的概念，等差数列的性质，并用性质解决一些相关问题，体会等差数列与一次函数之间的联系．难点：加深对等差数列性质的理解，学生在以后的学习过程能从不同角度看问题，解决问题，学会研究问题的方法．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单课标解读1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点)2.能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单子数列的性质【问题导思】已知等差数列{an}，取其奇数项组成一个新数列，则此数列是否为等差数列？若取偶数项呢？【提示】是等差数列，偶数项也是等差数列．从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为数列.等差服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单等差数列通项公式的变形【问题导思】等差数列{an}中，任意两项an与am有怎样的关系？能否用它们求公差？(其中nm，m，n∈N*)．【提示】an＝am＋(n－m)d.能，d＝an－amn－m.等差数列通项公式的变形：an＝am＋d，d＝.(n－m)an－amn－m服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单“下标和”性质【问题导思】看下面三个等差数列：(1)1,3,5,7,9,13，…(2)5,2，－1，－4，－7，－10，…(3)2,2,2,2,2,2，…服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单1．你能计算出每个数列中a1＋a5与a2＋a4的值吗？【提示】(1)a1＋a5＝10，a2＋a4＝10；(2)a1＋a5＝－2，a2＋a4＝－2；(3)a1＋a5＝4，a2＋a4＝4.2．各个数列中a1＋a5与a2＋a4的值有怎样的数量关系？这种关系是巧合吗？【提示】相等，不是巧合．3．如果换为a1＋a4与a2＋a3呢？【提示】仍然相等．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝.(2)在等差数列{an}中，若m＋n＝2t，则am＋an＝.(3)数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝＝＝…＝ai＋1＋an－i＝….ap＋aq2ata2＋an－1a3＋an－2服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单等差数列性质的应用(1)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.(2)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.【思路探究】(1)通过已知条件能否列出关于a1，d的方程组，求得a1，d进而求出a75的值？(2)a15，a30，a45，a60，a75是否成等差数列？服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单【自主解答】(1)法一因为a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，所以a1＋14d＝8，a1＋59d＝20，解得a1＝6415，d＝415.故a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单法二因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，其公差为d，a15为首项，则a60为其第四项，所以a60＝a15＋3d，得d＝4.所以a75＝a60＋d＝24.(2)法一∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.∴a5＝90，故a2＋a8＝2a5＝180.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单法二∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a3＋a4＋…＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋…＋a1＋6d＝5a1＋20d，即5a1＋20d＝450，∴a1＋4d＝90，故a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝180.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单1．等差数列“子数列”性质中“等距抽取”问题，分析的关键在于新数列中的项是从原等差数列中“等距”抽取出来的，故仍成等差数列，但产生了新的公差．2．正确认识等差数列的“下标和”性质：(1)此性质是等差数列特有的性质；(2)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，反之不成立；(3)命题结论等式的两边各有两项，也可以推广到三项、四项……，但等式两边和的项数必须相同．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单在等差数列{an}中，(1)a1＋a3＋a5＝－1，求a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，且a4a2，求a5.【解】(1)∵a1＋a3＋a5＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝－1，∴a3＝－13，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝5×－13＝－53.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单(2)∵a2＋a3＋a4＋a5＝34且a3＋a4＝a2＋a5，∴2(a2＋a5)＝34，∴a2＋a5＝17，又a2·a5＝52，∴a2＝4，a5＝13，或a2＝13，a5＝4.又∵a4a2，∴a4－a2＝2d0，∴d0，∴a5a2，∴a5＝13.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单灵活设元求解等差数列已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．【思路探究】可设首项与公差联立方程组求解，也可以用等差数列的性质，对称的设出项，再用方程组求解．比较一下，你认为哪种方法更简便？服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单【自主解答】法一设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得b－a＝c－b＝d－c，a＋b＋c＋d＝26，bc＝40.解得a＝2，b＝5，c＝8，d＝11，或a＝11，b＝8，c＝5，d＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单法二设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26，a1＋da1＋2d＝40，化简，得4a1＋6d＝26，a21＋3a1d＋2d2＝40，解得a1＝2，d＝3，或a1＝11，d＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单法三设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40，化简，得4a＝26，a2－d2＝40，解得a＝132，d＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．2．当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项，即：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d….3．当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项，即…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d….服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式，并判断－34是不是该数列的项．【解】法一依题意，得a1＋a2＋a3＝18，a1·a2·a3＝66，∴3a1＋3d＝18，a1·a1＋d·a1＋2d＝66，解得a1＝11，d＝－5，或a1＝1，d＝5.∵数列{an}是递减等差数列，∴d0.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单故取a1＝11，d＝－5，∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.∴－34是数列{an}的第10项．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单法二设等差数列{an}的前三项依次为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝18，a－d·a·a＋d＝66，解得a＝6，d＝±5.又∵{an}是递减等差数列，∴d0，∴取a＝6，d＝－5.∴等差数列{an}的首项a1＝11，公差d＝－5.∴通项公式an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.令an＝－34，解得n＝10.∴－34是数列{an}的第10项．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单等差数列的综合应用方程f(x)＝x的根称为函数f(x)的不动点，若函数f(x)＝xax＋2有唯一不动点，且x1＝1000，xn＋1＝1f1xn，n＝1,2,3，…，则x2014等于()A．2014B.40132C.20152D．2013服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单【思路探究】(1)由f(x)＝xax＋2有唯一不动点，能否求出a的值？(2){xn}是等差数列吗？【自主解答】令f(x)＝x，则xax＋2＝x，即ax2＋(2a－1)x＝0有唯一不动点，则2a－1＝0，即a＝12，∴f(x)＝2xx＋2，服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单xn＋1＝1f1xn＝12xn1xn＋2＝2xn＋12＝xn＋12，即xn＋1－xn＝12(常数)．∴{xn}是首项为1000，公差为12的等差数列．∴x2014＝1000＋2013×12＝40132.【答案】B服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项求解．(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式．(3)利用函数或不等式的有关方法解决．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单首项为a1，公差d为整数的等差数列{an}满足下列两个条件：(1)a3＋a5＋a7＝93；(2)满足an＞100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值．【解】由a3＋a5＋a7＝93，则a5＝31，∴an＝a5＋(n－5)d＞100，∴n＞69d＋5.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单∵n的最小值是15，故14≤69d＋5＜15，∴6.9＜d≤699，∵d为整数，∴d＝7，∴a1＝a5－4d＝3.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单等差数列性质使用不正确致误等差数列{an}中，已知a3＝2，a6＝5，求a9.【错解】∵3＋6＝9，∴a9＝a3＋a6＝2＋5＝7.【错因分析】性质am＋an＝ap＋aq中必须是两项相加等于两项相加，并不是下标和相等即相等．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单【防范