空间中的平行关系

考纲要求1．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理．知识梳理1．空间中直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α相交直线a在平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示图形表示aAa//a2.空间中平面与平面的位置关系位置关系图形语言符号语言公共点个数两平面平行两平面相交α∥βα∩β＝a无有一条公共直线1．直线与平面平行定理定理内容符号表示判定定律如果一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．性质定律一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的与该直线平行．平面外////,abaab////aaabb交线2．平面与平面平行定理定理内容符号表示图形表示判定定律一个平面内的两条与另一个平面平行，则这两个平面平行．性质定律如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的平行．相交直线交线,////,//ababPab////aabb1.判断正错（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；（3）平行于同一平面的两直线平行。（4）一条直线与一平面平行，它就和这个平面内任一直线平行。（5）与两相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个相交平面。（6）若两平行线中的一条平行于某个平面，则另一条也平行与这个平面2．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若mα，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3题型一：线线平行问题【例1】如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH为平行四边形.求证：GHCD//.BFGHEADC【变式1】三棱柱111ABCABC中，过11AC与点B的平面交平面ABC于直线L,试判定L与11AC的关系，并给出证明.题型二：线面平行问题【例2】如图在四棱锥ABCDP中，ABCD是平行四边形，NM,分别是PCAB,的中点，求证：MN//平面PAD.MNSPDCBAPDCBAMNS题型三：面面平行问题例3.在正方体1111DCBAABCD中，PNM,,分别为11111,,DCCBCC的中点.求证：平面MNP//平面BDA1.AB1D1C1A1DCBMNP如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上．问点E在何处时，//PAEBD平面，并加以证明.O【变式2】正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.EFDDAACCBB1111PQ【变式2】正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.EFPDDAACCBB1111EFPDDAACCBB11113.如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，,MN分别是,SABD上的点，且SMAM=NDBN，求证：//MN平面SCDABCDMNSP4.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点，N为BC的中点（Ⅰ）证明：直线MNOCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。PQNMABDCO4.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点，N为BC的中点（Ⅰ）证明：直线MNOCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。NMABDCOABDCO4.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点，N为BC的中点（Ⅰ）证明：直线MNOCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。1．（2012湛江一模）对两条不相交的空间直线a和b，则（）A．必定存在平面，使得,abB．必定存在平面，使得a，b∥C．必定存在直线c，使得a∥c，b∥cD．必定存在直线c，使得a∥c，bc基础自测【答案】B2．（2012西城二模）设m，n是不同的直线，，是不同的平面，且,mn．则“∥”是“m∥且n∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【例1】已知直线a，b与平面，下列命题正确的是（）A．若a∥，b，则a∥bB．若a∥，b∥，则a∥bC．若a∥b，b，则a∥D．若a∥b，b，则a∥或a典例剖析考点1平行的基本问题【答案】D【变式】（2012四川高考）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】选项A．两直线可能平行，相交，异面．选项B．两平面平行或相交．选项D．这两个平面平行或相交．【例2】（2012北京师大附中）如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA底面ABCD，且2PA，E是侧棱PA上的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）求四棱锥PABCD的体积．PECABD考点2直线和平面平行问题【解析】（1）连结AC交BD于O，连结OE，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点．又∵E是PA的中点，∴PC∥OE．∵PC平面BDE，OE平面BDE，∴//PC平面BDE．（2）∵PA平面ABCD，∴211212333PABCDABCDVSPA正方形，∴四棱锥PABCD的体积为32．OPECABD【变式】（2012梅州一模）如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC//平面DEFG，AD平面DEFG，ABAC，EDDG，EF∥DG，且1ACEF，2ABADDEDG．（1）求证：BF//平面ACGD；（2）求三棱锥ABCF的体积．EFGABCD【解析】（1）取DG的中点M，连接,AMFM，∵12EFDG，∴EFDM，∵EF∥DG，∴EF∥DM，∴四边形DEFM是平行四边形，∴//DEMF，又∵//DEAB，∴//ABMF．∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM，又BF平面ACGD，AM平面ACGD，∴BF//平面ACGD．（2）∵平面ABC//平面DEFG，即F到平面ABC的距离为AD，∴13ABCFFABCABCVVSAD112(12)2323．DCBAGFEM【例3】如图，已知111ABCABC是正三棱柱，棱长均为5，E、F分别是AC、11AC的中点．（1）求证：平面1ABF∥平面1BEC；（2）求点A到平面1BEC的距离．B1A1BAECC1F考点3平面和平面平行问题【解析】（1）∵在正三棱柱111ABCABC中，E、F分别是AC、11AC的中点．∴1AEFC，AE∥1FC，∴1AECF为平行四边形，∴AF∥1EC，∵EF1AA，1BB1AA,∴EF1BB，∴1EFBB为平行四边形，∴BE∥1BF，∵1AFBFF，1CEBEE，∴平面1ABF∥平面1BEC．（2）设点A到平面1BEC间的距离为h，则∵在正三棱柱111ABCABC中，1CC平面ABC，BE平面ABC，∴1CCBE，∵E是AC的中点，∴BEAC，∵1ACCCC，∴BE平面1ECC，1EC平面1ECC，∴1BEEC．∵11ABECCABEVV，111133BECABEShSCC，∴111122BEEChBEAECC，∴11552152AECChEC，∴点A到平面1BEC间的距离为1．1．证明直线和平面平行主要有两种方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行，即：线线平行线面平行；②证明经过这条直线的一个平面和这个平面平行，即：面面平行线面平行．2．证明平面和平面平行的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行．归纳反思