福建省2013届高考数学一轮总复习 第52讲 直线的方程课件 文 新课标

()理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式点斜式、两点式及一般式，了解斜截式与一次函数的关系．1____________0.2_______1___.xxx倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴绕着交点按①旋转到和直线重合时所转过的②叫直线的倾斜角．当直线与轴平行或重合时规定倾斜角为倾斜角．直线的倾斜③角范围：11221212190_______90__________2()()()tan________.2ABAxyBxyxxABkxxABx定义：倾斜角不等于的直线，它的倾斜角的④叫做这条直线的斜率，倾斜角等于的直线⑤斜率．　　公式：过两点，，，其中的直线的斜率为⑥，当时，斜率不存在，直线与轴垂直，方程为⑦．直线的斜率0000,0(0)____________________.1()____________.(0.34)lxyAaBbablxyyykxxkxykbykxb直线与轴、轴分别交于点和，，则、分别叫直线在轴和轴上的截距．截距⑧，也可能等于⑨直线方程的三种形式及适用范围．点斜式：．已知条件：斜率和一点，．适用范围：⑩　特别地，已知条件：斜率和一点，时，直线．直线的截距．直线方程方程就为：适用范x围：直线不与轴垂直．11121221212()_____,0(0)(00)1._____30()yyxxxxyyyyxxxyababxyabxyAxByCAB两点式：，．适用范围：表示不与轴、轴的直线．特别地，当直线过两点，，，，两点式方程就为适用范围：或不与轴和轴垂直的直线．一般式：，不同时为零．适用范围：能表示平面上所有直线，但一般不用此式求直线方程，一般在证明题时用此方程．1210_______5___.AxByCaykxba直线的方向向量：直线的一个方向向量为，直线的一个方．直线与向为量向向量2//.,lAvPlAPvtAPtvOOPOAtvtR直线的向量方程：如图，设直线经过定点并且与向量平行，为上任意一点，则根据向量共线的充要条件，有唯一实数，使得设为平面上一定点，21121 [0,180)()(1)yyxxxxxBAk①逆时针方向；②最小正角；③；④正切值；⑤没有；⑥；⑦；⑧可正可负；⑨零；⑩直线不与轴垂直；垂直；不过原点；，；【】指南，要点1.直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B.π4C.5π6D.2π3【解析】由已知，tanα＝－33＜0，又α∈[0，π)，则α＝5π6，故选C.2.下列命题中的真命题是()A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D．经过点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示【解析】A、D均不包括斜率不存在的情况，而C不能表示平行于坐标轴的直线．3.在同一坐标系中表示直线y＝ax与y＝x＋a，正确的是()【解析】应用淘汰法验证可知应选C.思考时应注意到a对于直线y＝ax为其斜率，而对于y＝x＋a为其纵截距．4.将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，得到的直线方程为y＝－13x＋13.【解析】将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到的直线方程为y＝－13x，再将其向右平移一个单位长度得到的直线方程为y＝－13(x－1)，即y＝－13x＋13.5.(2011·上海文改编)若直线l过点(3,4)，且(－2,1)是它的一个方向向量，则直线l的方程为x＋2y－11＝0.一直线的倾斜角与斜率【例1】(1)已知P(3，－1)，M(6,2)，N(－3，3)，直线l过P点，且与线段MN相交，求直线l的倾斜角和斜率的取值范围；(2)已知M(－1，－5)，N(3，－2)，若直线l的倾斜角是直线MN的倾斜角的一半，求直线l的斜率．【解析】(1)因为kPM＝2＋16－3＝1，所以直线PM的倾斜角为π4.又kPN＝3＋1－3－3＝－33，所以直线PN的倾斜角为5π6.又倾斜角α∈[0，π)．所以直线l的倾斜角的范围是[π4，5π6]；直线l的斜率的取值范围是(－∞，－33]∪[1，＋∞)．(2)设l的倾斜角为α，则直线MN的倾斜角为2α.因为2α∈[0，π)，所以α∈[0，π2)．由已知有tan2α＝kMN＝－2－－53－－1＝34.所以2tanα1－tan2α＝34，即3tan2α＋8tanα－3＝0，解得tanα＝－3或tanα＝13，因为α∈[0，π2)，所以tanα≥0，所以tanα＝13.从而直线l的斜率为13.【点评】这里的几个小题从不同角度反映了斜率知识的应用，要注意体会应用的角度和处理的方法，达到灵活变通．直线2xcosα－y－3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的取值范围是()A．[π6，π3]B．[π4，π3]C．[π4，π2]D．[π4，2π3]素材1【解析】直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，由α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的取值范围是[π4，π3]．二直线方程的求法【例2】根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且原点到直线的距离为5.【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0≤α＜π)，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.故所求直线的方程为y＝±13(x＋4)．即x－3y＋4＝0或x＋3y＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为：xa＋y12－a＝1，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)依题设知此直线的斜率可能不存在．当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其斜率为k，则y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式得：|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线的方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线的方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.【点评】求直线方程一般有以下两种方法：(1)直接法：直接依题设确定出形式适当的直线方程，然后写出其方程．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，最后将求得的系数代入所设方程，即得所求直线方程．概括起来三句话：设方程，求系数，代入得方程．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6.根据下列条件分别确定实数m的值．(1)l在x轴上的截距是－3；(2)斜率为－1.素材2【解析】(1)令y＝0，得x＝2m－6m2－2m－3＝2m－3m－3m＋1＝2m＋1＝－3，得m＝－53.同时，当m＝－53时，m2－2m－3与2m2＋m－1均不为零，故m＝－53为所求．(2)由已知，－m2－2m－32m2＋m－1＝－1，即m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或m＝－2，而m＝－1时，m2－2m－3＝0，且2m2＋m－1＝0，故m＝－1应舍去，所以m＝－2为所求．三直线方程的综合应用【例3】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴的负半轴于A，交y轴的正半轴于B，设△AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线l的方程．【解析】(1)证法1：将直线的一般式kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)化为点斜式y－1＝k(x＋2)，所以无论k取何值，直线总经过点(－2,1)．证法2：直线方程化为(x＋2)·k＋(1－y)＝0，因为对任意k都成立，所以x＋2＝01－y＝0，即x＝－2y＝1，所以直线过定点(－2,1)．(2)将直线的一般式kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)化为斜截式y＝kx＋2k＋1，要使直线不经过第四象限，结合图象知，必须有k≥01＋2k≥0，解之得k≥0.(3)由方程知，直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，得A(－1＋2kk，0)，B(0,1＋2k)．依题意得－1＋2kk＜01＋2k＞0，解得k＞0.因为S＝12·|OA|·|OB|＝12·|1＋2kk|·|1＋2k|＝12·1＋2k2k＝12(4k＋1k＋4)≥12(2×2＋4)＝4，等号成立的条件是4k＝1k且k＞0，即k＝12，所以Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0.【点评】直线方程有五种形式，各赋有不同的几何意义，掌握它们之间的转化，从而便能找到适合题设的最佳解法．直线l经过点P(3,2)且与x，y轴的正半轴分别交于A、B，△OAB的面积为12，求直线l的方程．素材3【分析】注意到题目中△OAB的面积与截距有关，可联想到直线方程的截距式．若从直线l过定点P(3,2)考虑还可运用直线方程的点斜率式，所以有两种解法．【解析】方法1：设直线l的方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，所以A(a,0)，B(0，b)，所以ab＝243a＋2b＝1，解得a＝6b＝4.所以所求直线l的方程为x6＋y4＝1，即2x＋3y－12＝0.方法2：设直线l的方程为y－2＝k(x－3)．令y＝0，得直线l在x轴的正半轴上的截距a＝3－2k；令x＝0，得直线l在y轴的正半轴上的截距b＝2－3k，所以(3－2k)(2－3k)＝24，解得k＝－23.所以所求直线l的方程为y－2＝－23(x－3)，即2x＋3y－12＝0.备选例题在路边安装路灯，路宽23m，当灯柱高为15m，灯杆BA与灯柱成120°角，路灯成锥形灯罩，灯罩轴线AC与AB灯杆垂直，灯杆BA长多少时灯罩轴线AC正好通过道路的中轴线？【分析】利用坐标法，适当的建立直角坐标系，把实际问题化为求直线上的点的坐标和或线段长．【解析】如右图所示，记灯柱顶端为B，灯罩顶端为A，灯杆为AB，灯罩轴线与道路中线交于C，以灯柱端点O为原点，灯柱OB为y轴建立直角坐标系．设|BA|＝x0，点B的坐标为(0,15)，点C的坐标为(11.5,0)．因为∠OBA＝120°，所以直线BA的倾斜角为30°，则点A的坐标为(32x0,15＋x02)．因为CA⊥BA，所以kCA＝－1kBA＝－1tan30°＝－3.由直线的点斜式方程得CA的直线方程为y－(15＋x02)＝－3(x－32x0)．因为点C(11.5,0)在直线CA上，故－(15＋x02)＝－3(11.5－32x0)，解得x0＝11.53－152≈2.46(m)．故灯杆BA长约为2.46m.【点评】(1)坐标法是解析几何重要的解题方法，它要求在建立直角坐标系的基础上计算曲线的特征值．(2)曲线方程中的特征值有角度(斜率)、线段长度、截距，把实际问题转化为这些特征值，是数学建模中关键的一步．1tan[0)()2222()3kyxxxxy．有关倾斜角与斜率的问题探究，应注意应用正切函数，，，的图象及其单调性分析求解，当时，应单独考虑．．直线方程设定或求解时，关键是根据题设情境恰当地选择方程形式，同时注意对特殊位置平行于轴、轴、过原点的情形进行分析讨论．．在平面直角坐标系中，直线与一元一次方程一一对应，确定一条直线需两个独立的条件，其中必不可少的是过一定点，另一条件是直()线的方向或倾斜角、或斜率、或方向向量、或另一定点．