微分中值定理与导数的应用习题

1第四章微分中值定理与导数的应用习题§4.1微分中值定理1．填空题（１）函数xxfarctan)(在]1,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是4．（２）设)5)(3)(2)(1()(xxxxxf，则0)(xf有3个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2．选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且)()(bfaf，是)(xf在),(ba内至少存在一点，使0)(f成立的（B）．A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1,1[上满足罗尔定理条件的是（C）．A.xexf)(B.||)(xxfC.21)(xxfD.0,00,1sin)(xxxxxf（３）若)(xf在),(ba内可导，且21xx、是),(ba内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（B）．A．),()()()()(2112bafxxxfxfB．)()()()(2121fxxxfxf在12,xx之间C．211221)()()()(xxfxxxfxfD．211212)()()()(xxfxxxfxf3．证明恒等式：)(2cotarctanxxarcx．证明：令xarcxxfcotarctan)(，则01111)(22xxxf，所以)(xf为一常数．设cxf)(，又因为(1)2f，故)(2cotarctanxxarcx．4．若函数)(xf在),(ba内具有二阶导数，且)()()(321xfxfxf，其中12axx3xb，证明:在),(31xx内至少有一点，使得0)(f．证明：由于)(xf在],[21xx上连续,在),(21xx可导,且)()(21xfxf，根据罗尔定理知，存在),(211xx，使0)(1f．同理存在),(322xx，使0)(2f．又)(xf在],[21上符合罗尔定理的条件，故有),(31xx，使得0)(f．25．证明方程062132xxx有且仅有一个实根．证明：设621)(32xxxxf，则031)2(,01)0(ff，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(，使得0)(f．另一方面，假设有),(,21xx，且21xx，使0)()(21xfxf，根据罗尔定理，存在),(21xx使0)(f，即02112，这与02112矛盾．故方程062132xxx只有一个实根．6．设函数)(xf的导函数)(xf在],[ba上连续，且0)(,0)(,0)(bfcfaf，其中c是介于ba,之间的一个实数．证明：存在),(ba,使0)(f成立.证明：由于)(xf在],[ba内可导，从而)(xf在闭区间],[ba内连续，在开区间(,)ab内可导．又因为()0,()0fafc，根据零点存在定理，必存在点1(,)ac，使得0)(1f．同理，存在点2(,)cb，使得0)(2f．因此()fx在21,上满足罗尔定理的条件，故存在),(ba，使0)(f成立．7.设函数)(xf在]1,0[上连续,在)1,0(内可导.试证:至少存在一点(0,1),使()2[(1)(0)].fff证明：只需令2)(xxg，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式（１）当x0时，xxxcossin．证明：设ttttfcossin)(，函数)(tf在区间],0[x上满足拉格朗日中值定理的条件，且tttfsin)(,故'()(0)()(0),0fxffxx,即0sincossinxxxx(x0)因此，当x0时，xxxcossin．（２）当0ba时，bbabaabaln．证明：设xxfln)(，则函数在区间[,]ba上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),fafbfabba因为'1()fxx，所以1ln()aabb，又因为ba，所以111ab，从而bbabaabaln．3§4.2洛毕达法则1．填空题（１）xxx3cos5coslim235（２）xxxarctan)11ln(lim0（３）)tan11(lim20xxxx=31（４）0lim(sin)xxx1２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（B）A．nnnnnenlnlimlim11limnneB．xxxxxsinsinlim0xxxcos1cos1lim0C．xxxxxxxxxcos1cos1sin2limsin1sinlim020不存在D．xxex0lim=11lim0xxe（２）在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（C）A．xxxsinlim20B．xxxtan0)1(limC．xxxxsinlimD．xnxexlim3．求下列极限（１）nnmmaxaxaxlim．解：nnmmaxaxaxlim=nmnmaxanmnxmx11lim．（２）20222limxxxx．解：20222limxxxx=xxxx22ln22ln2lim0=2)2(ln2)2(ln2lim220xxx=2)2(ln．4（３）30tansinlimxxxx．解：30tansinlimxxxx＝32030)21(lim)1(costanlimxxxxxxxx＝21．（４）20)(arcsin1sinlimxxexx．解：20)(arcsin1sinlimxxexx＝201sinlimxxexx＝212sinlim2coslim00xexxexxxx．（５）xxxxxxln1lim1．解：)ln1()(xxxxx，xxxxxxln1lim1＝xxxxx11)ln1(1lim1＝22111)ln1(limxxxxxxxx2])ln1([lim1221xxxxxx．（６）)111(lim0xxex．解：2121lim)1(1lim)111(lim22000xxexxeexxxxxxx（７）xxxtan0)1(lim．解：1)1(lim202000sinlimcsc1limcotlnlimlntanlimtan0xxxxxxxxxxxxxxeeeex．（８）)31ln()21ln(limxxx．解：)31ln()21ln(limxxx=2ln23ln(12)12limln(12)3lim3lim1xxxxxxxxx=xxx212lim2ln3=2ln3．（９）nnnlim．解：因为1lim1limln1limxxxxxxxeex，所以nnnlim=1．5§4.3函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空题（１）函数)ln(422xxy的单调增加区间是),21()0,21(，单调减少区间)21,0()21,(．（２）若函数)(xf二阶导数存在，且0)0(,0)(fxf，则xxfxF)()(在x0上是单调增加．（３）函数12axy在),0(内单调增加，则a0．（４）若点（1，3)为曲线23bxaxy的拐点，则a23，b29，曲线的凹区间为)1,(，凸区间为),1(．2．单项选择题（１）下列函数中，（A）在指定区间内是单调减少的函数.A.xy2),(B.xye)0,(C.xyln),0(D.xysin),0(（２）设)12)(1()(xxxf，则在区间)1,21(内（B）．A.)(xfy单调增加，曲线)(xfy为凹的B.)(xfy单调减少，曲线)(xfy为凹的C.)(xfy单调减少，曲线)(xfy为凸的Ｄ．)(xfy单调增加，曲线)(xfy为凸的（３）)(xf在),(内可导,且21,xx,当21xx时,)()(21xfxf,则(D)A.任意0)(,xfxB.任意0)(,xfxC.)(xf单调增D.)(xf单调增（４）设函数)(xf在]1,0[上二阶导数大于0,则下列关系式成立的是（B）A.)0()1()0()1(ffffB.)0()0()1()1(ffffC.)0()1()0()1(ffffD.)0()1()0()1(ffff2．求下列函数的单调区间（１）1xeyx．解：1xey，当0x时，0y,所以函数在区间),0[为单调增加；当0x时，0y，所以函数在区间]0,(为单调减少．（２）32(25)yxx．6解：)1(31031xxy，当1x，或0x时，0y,所以函数在区间),1[]0,(为单调增加；当01x时，0y，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2xxy解：011111222xxxxxy，故函数在),(单调增加．3．证明下列不等式（１）证明：对任意实数a和b,成立不等式||1||||1||||1||bbaababa．证明：令xxxf1)(，则0)1(1)(2xxf，)(xf在),0[内单调增加.于是,由||||||baba,就有)||||()||(bafbaf,即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||bbaababbaababababa（２）当1x时,1)1(2lnxxx．证明：设)1(2ln)1()(xxxxf，11ln)('xxxf，由于当1x时，211()0fxxx,因此)(xf在),1[单调递增,当1x时,0)1()(fxf,故)(xf在),1[单调递增,当1x时,有0)1()(fxf.故当1x时,0)1(2ln)1()(xxxxf,因此1)1(2lnxxx．（３）当0x时，6sin3xxx．证明：设6sin)(3xxxxf,021cos)(2xxxf，当0x，()sin0fxxx，所以)(xf在),0[单调递增,当0x时,0)0()(fxf,故)(xf在),0[单调递增,从而当0x时,有0)0()(fxf.因此当0x时，6sin3xxx．4．讨论方程kxxsin2(其中k为常数)在)2,0(内有几个实根．解：设()sin,2xxxk则()x在]2,0[连续,且kk)2(,)0(，7由()1cos02xx，得2arccosx为)2,0(内的唯一驻点．()x在2[0,arccos]上单调减少，在2[arccos,]2上单调增加．故k242arccos)2(arccos2为极小值，因此)(x在]2,0[的最大值是k,最小值是k242arccos2．（１）当,0k或242arccos2k时,方程在)2,0(内无实根；（２）当0242arccos2k时,有两个实根；（３）当242arccos2k时，有唯一实根．5．试确定曲线dcxbxaxy23中的a、b、c、d，使得2x处曲线有