浙江高考数学复习专题一三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质学案

第1讲三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真题感悟1.(2016·浙江卷)设函数f(x)＝sin2x＋bsinx＋c，则f(x)的最小正周期()A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关解析因为f(x)＝sin2x＋bsinx＋c＝－cos2x2＋bsinx＋c＋12，其中当b＝0时，f(x)＝－cos2x2＋c＋12，f(x)的周期为π；b≠0时，f(x)的周期为2π，即f(x)的周期与b有关但与c无关，故选B.答案B2.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6的最大值为()A.65B.1C.35D.15解析cosx－π6＝cosπ2－x＋π3＝sinx＋π3，则f(x)＝15sinx＋π3＋sinx＋π3＝65sinx＋π3，函数的最大值为65.答案A3.(2018·天津卷)将函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数()A.在区间3π4，5π4上单调递增B.在区间3π4，π上单调递减C.在区间5π4，3π2上单调递增D.在区间3π2，2π上单调递减解析把函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g(x)＝sin2x－π10＋π5＝sin2x的图象，由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ(k∈Z)得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得3π4≤x≤5π4，即函数g(x)＝sin2x的一个单调递增区间为3π4，5π4，故选A.答案A4.(2016·浙江卷)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________.解析∵2cos2x＋sin2x＝cos2x＋1＋sin2x＝222cos2x＋22sin2x＋1＝2sin2x＋π4＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，∴A＝2，b＝1.答案21考点整合1.常见三种三角函数的图象、性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴x＝kπ＋π2x＝kπ周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得.(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.3.三角函数的两种常见变换热点一三角函数的图象【例1】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则fπ3的值为______.解析根据图象可知，A＝2，3T4＝11π12－π6，所以周期T＝π，ω＝2πT＝2.又函数过点π6，2，所以有sin2×π6＋φ＝1，而0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f(x)＝2sin2x＋π6，因此fπ3＝2sin2π3＋π6＝1.答案1探究提高已知图象求函数y＝Asin()ωx＋φ(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练1】(2018·宁波适应考试)已知函数f(x)＝2sinπ4－xsinx＋π4＋23sin(x－π)cos(x＋π).(1)求f(x)的单调递减区间和f(x)的图象的对称轴；(2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移π12个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求h(x)＝[g(x)]2－g(x)＋1在0，π6上的值域.解(1)f(x)＝2cosx＋π4sinx＋π4＋3sin2x＝sin2x＋π2＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＝2sin2x＋π6.由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z).所以f(x)的单调递减区间为kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z).由2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，故f(x)的图象的对称轴为x＝kπ2＋π6(k∈Z).(2)由(1)知f(x)＝2sin2x＋π6，将函数y＝f(x)的图象向右平移π12个单位长度后得到函数y＝2sin2x－π12＋π6＝2sin2x的图象，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sinx的图象.所以h(x)＝[g(x)]2－g(x)＋1＝4sin2x－2sinx＋1＝4(sinx－14)2＋34.当x∈0，π6时，sinx∈0，12.故函数h(x)在0，π6上的值域为34，1.热点二三角函数的性质[考法1]三角函数性质的应用【例2－1】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋3cos(ωx＋φ)ω＞0，0＜|φ|＜π2为奇函数，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2.(1)求fπ6的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间.解(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋3cos(ωx＋φ)＝212sin（ωx＋φ）＋32cos（ωx＋φ）＝2sinωx＋φ＋π3.因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝2sinφ＋π3＝0，又0＜|φ|＜π2，可得φ＝－π3，所以f(x)＝2sinωx，由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f(x)＝2sin2x.因此fπ6＝2sinπ3＝3.(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到fx－π6的图象，所以g(x)＝fx－π6＝2sin2x－π6＝2sin2x－π3.当2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)时，g(x)单调递增，因此g(x)的单调递增区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z).探究提高对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的求解，其基本方法是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间.[考法2]由三角函数的性质求参数【例2－2】(1)(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π(2)已知ω0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析(1)法一f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋π4，且函数y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋π4≤π，得－π4≤x≤3π4.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以－a≥－π4，a≤3π4，解得a≤π4，所以0a≤π4，所以a的最大值是π4，故选A.法二因为f(x)＝cosx－sinx，所以f′(x)＝－sinx－cosx，则由题意，知f′(x)＝－sinx－cosx≤0在[－a，a]上恒成立，即sinx＋cosx≥0，即2sinx＋π4≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝2sinx＋π4的图象可知有－a＋π4≥0，a＋π4≤π，解得a≤π4，所以0a≤π4，所以a的最大值是π4，故选A.(2)由y＝2sinωx，y＝2cosωx得sinωx＝cosωx，∴tanωx＝1，ωx＝kπ＋π4(k∈Z).∵ω0，∴x＝kπω＋π4ω(k∈Z).设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1＝π4ω，x2＝5π4ω，则|x2－x1|＝5π4ω－π4ω＝πω.又结合图形知|y2－y1|＝2×－22－2×22＝22，且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为23，∴(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(23)2，∴πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2.答案(1)A(2)π2探究提高此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证.[考法3]三角函数图象与性质的综合应用【例2－3】(2018·北京海淀区期末)设函数f(x)＝sin2ωx＋23sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点π4，0，求函数f(x)在x∈0，π2上的值域.解(1)因为f(x)＝sin2ωx＋23sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin2ωx－π6＋λ，由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝k2＋13(k∈Z).又ω∈12，1，k∈Z，所以k＝1，故ω＝56.所以f(x)的最小正周期是6π5.(2)由(1)知f(x)＝2sin53x－π6＋λ，由y＝f(x)的图象过点π4，0，得fπ4＝0，即λ＝－2sin53×π4－π6＝－2sinπ4＝－2，即λ＝－2.故f(x)＝2sin53x－π6－2.∵x∈0，π2，∴53x－π6∈－π6，2π3，∴sin53x－π6∈－12，1，∴函数f(x)的值域为[－1－2，2－2].探究提高求三角函数最值的两条思路：(1)将问题化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解.训练2(2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R).(1)求f2π3的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解(1)f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx＝－cos2x－3sin2x＝－2sin