数学竞赛专题 函数2

三.函数的周期性函数的周期性如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.例1已知函数f(x)，对任意实数x，有下面四个关系式成立：（1）f(x)=－f(x+a)（a为非零常数）；（2）f(x)=f(a－x)（a为非零常数）；（3）f(a－x)=f(b－x)（a,b为常数且a2+b2≠0）【例题讲解】（4）f(a－x)=－f(b－x)(a,b为常数且a2+b2≠0）其中使f(x)是周期函数的关系式是_______．【解】考查（1），f(x)=－f(x+a)说明“两个自变数相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等：f(x)=－f(x+a)=f(x+2a)∴等式（1）使f(x)是周期函数，且2a是周期；考查（2），f(x)=f(a－x)表明函数f(x)的图像关于直线对称，这不一定能使其为周期函数；考查（3），f(a－x)=f(b－x)表明自变数相差a－b时，函数值相等，即f(x)=f(a－b+x)∴等式（3）使f(x)是周期函数，且a－b是周期．2ax考查（4），f(a－x)=－f(b－x)表明自变数相差a－b时，函数值互为相反数，于是相差2（a－b）时，函数值相等．故（4）同（1），能使f(x)为周期函数，且2（a－b）是周期．综上所述，应填（1），（3），（4）．例2f(x)是R上的以2为周期的周期函数，又是奇函数，且x∈(0，1)时，则f(x)在（1，2）上（A）是增函数，且f(x)＞0（B）是减函数，且f(x)＞0（C）是增函数，且f(x)＜0（D）是减函数，且f(x)＜0xxf11log)(2【讲解】认识f(x)在（1，2）上的性质，可以把f(x)在（1，2）上的解析式求出来，或者由f(x)的性质去推断：∵f(x)的周期是2．∴f(x)在（1，2）和（－1，0）的性质一致，∵f(x)是奇函数，∴f(x)在（－1，0）和（0，1）上的增减性相同，但符号相反．因此，函数f(x)在（0,1）上与（1，2）上的增减性相同，而符号相反．【解法1】0＜x＜１0＜１－x＜１111x011log2x在（0，1）上，1－x是减函数，是增函数x11是增函数，x11log2于是，f(x)在（1，2）上是增函数，且f(x)＜0．故选（C）．【解法2】设x∈(1，2)则－1＜x－2＜0且f(x)=f(x－2)，∵－1＜x－2＜0,∴0＜2－x＜111log)2(11log)2(22xxxf于是，∵f(x)是奇函数，∴f(2－x)＝－f(x－2)，∴)1(log11log)(22xxxf可见，f(x)在（1，2）上是增函数，且f(x)＜0故选（C）．例3.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(x＋m)＝－f(x)所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]＝－f(x＋m)＝f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.例4.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x－m),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(x＋m)＝f(x－m)令x－m＝t，则x＋m＝t＋2m于是f(t＋2m)＝f(t)对于t∈R恒成立，所以f(x)是以2m为周期的周期函数.例5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝)x(f1)x(f1,求证:2m是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]1()11()1()1()1()11()fxfxmfxfxfxmfx＝f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.例6.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－,求证:4m是f(x)的一个周期.)x(f1)x(f11()11()11()1()1()()11()fxfxmfxfxfxmfxfx)m2x(f1证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]于是f(x＋4m)＝－＝f(x)所以f(x)是以4m为周期的周期函数.例7.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x),求证:2|a－b|是f(x)的一个周期.(a≠b)证明：不妨设a＞b于是f(x＋2(a－b))＝f(a＋(x＋a－2b))＝f(a－(x＋a－2b))＝f(2b－x)＝f(b－(x－b))＝f(b＋(x－b))＝f(x)∴2(a－b)是f(x)的一个周期当a＜b时同理可得所以，2|a－b|是f(x)的周期例8.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)即：f(x＋3)＝－f(x)∴f(x＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数2004＝6×334∴f(2004)＝f(0)＝2004例9f(x)是R上的奇函数，且对任何实数x，总有f(x+2)＝－f(x)，且x[0，1]时，f(x)＝x，则f(x)在R上的解析式为．【解】∵f(x+2)＝－f(x)，∴f(x+4)＝－f(x+2)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，4是周期．∵f(－x)＝－f(x)．∴f(x+2)＝f(－x)，∴f(x)的图像关于x＝1对称，由上述这些性质，及x[0，1]时，y=x，得知f(x)的图像如下：其中斜率为1的线段过点（4m，0），其中斜率为－1的线段过点（4m+2，0）．故解析式为)Z(],3414[),24()Z](1414[,4)(mmmxmxmmmxmxxf，，例10.已知对于任意a，b∈R，有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0⑴求证：f(x)是偶函数；⑵若存在正整数m使得f(m)＝0，求满足f(x＋T)＝f(x)的一个T值(T≠0)⑴证明：令a＝b＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)又令a＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x)所以，f(x)为偶函数⑵令a＝x＋m，b＝m得f(x＋2m)＋f(x)＝2f(x＋m)f(m)＝0所以f(x＋2m)＝－f(x)于是f(x＋4m)＝f[(x＋2m)＋2m]=－f(x＋2m)＝f(x)即T＝4m(周期函数)例11.数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an(n∈N＋)①求a100；②求S100.解：由已知a1＝a，a2＝b，所以a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，a7＝a，a8＝b，……由此可知，{an}是以6为周期的周期数列，于是a100＝a6×16＋4＝a4＝－a又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0S100＝a1＋a2＋a3＋…＋a96＋a97＋a98＋a99＋a100＝0＋a97＋a98＋a99＋a100＝a1＋a2＋a3＋a4＝a＋b＋(b－a)＋(－a)例12.对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1,若f(－2)=－2,试求满足f(a)＝a的所有整数a.解：令x＝y＝0，得f(0)＝－1再令x＝y＝－1，得f(－2)＝2f(－1)＋2，又f(－2)＝－2所以f(－1)＝－2又令x＝1，y＝－1，可得f⑴＝1令x＝y＝1得f⑵＝2f⑴＋1＋1＝4令y＝1，得f(x＋1)＝f(x)＋x＋2即f(x＋1)－f(x)＝x＋2①当x取任意正整数时，f(x＋1)－f(x)＞0又f⑴＝1＞0所以f(x)＞0于是f(x＋1)＝f(x)＋x＋2＞x＋1即对任意大于1的正整数t，f(t)＞t在①中，令x＝－3，得f(－3)＝－1，进一步可得f(－4)＝1注意到f(x)－f(x＋1)＝－(x＋2)所以当x≤－4时，f(x)－f(x＋1)＞0即f(x)＞f(x＋1)＞f(x＋2)＞……＞f(－4)＝1所以x≤－4时，f(x)＞x综上所述，满足f(a)＝a的整数只有a＝1或a＝－2例13.设f(x)是一个从实数集R到R的一个映射,对于任意的实数x,都有|f(x)|≤1,并且f(x)+)71x(f)61x(f)4213x(f求证:f(x)是周期函数.1376()()()424242fxfxfx)426x(f)4213x(f)x(f)427x(f证明：由已知f(x)+所以19124942()()...()()42424242fxfxfxfx42497()()()()424242fxfxfxfx即（1）714943()()()()42424242fxfxfxfx同理可得)421x(f)4243x(f)427x(f)4249x(f4249712()()()()424242fxfxfxfx由（）（）可得431442()()()()424242428442...()()4242fxfxfxfxfxfx①(2)于是f(x＋1)－f(x)＝f(x＋2)－f(x＋1)，记这个差为d同理f(x＋3)－f(x＋2)＝f(x＋2)－f(x＋1)＝d……f(x＋n＋1)－f(x＋n)＝f(x＋n)－f(x＋n－1)＝……＝f(x＋1)－f(x)＝d即是说数列{f(x＋n)}是一个以f(x)为首项，d为公差的等差数列因此f(x＋n)＝f(x)＋nd＝f(x)＋n[f(x＋1)－f(x)]对所有的自然数n成立，而对于x∈R，|f(x)|≤1，即f(x)有界，故只有f(x＋1)－f(x)＝0即f(x＋1)＝f(x)x∈R所以f(x)是周期为1的周期函数.例14设f(x)的定义域为R，其图像关于直线x＝2和x＝0对称，且x[4，6]时，f(x)＝2x+1，那么在区间[－2，0]上，f－1(x)的解析式为（A）y＝log2(x－4)（B）y＝4－log2(x－1)（C）y＝4+log2(x－1)（D）y＝－log2(x－1)【分析】如何用好x＝2，x＝0是图像对称轴这个条件，并把两者综合而得新的性质？这就要想到：y＝f(x)图像关于x＝a对称xR时有f(x)＝f(2a－x)【解】∵y＝f(x)的图像关于x＝0对称，∴f(x)＝f(－x)，∵y＝f(x)的图像关于x＝2对称，∴f(－x)＝f(4+x)．于是有f(x)＝f(4+x)∴f(x)是周期为4的函数，当－2≤x≤0时，0≤－x≤2且－x+4∈[4，6]∵y＝f(x)的图像关于x＝0对称，∴f(x)＝f(－x)．∵周期为4，∴f(－x)＝f(－x+4)＝2－x+4+1即在[－2，0]上，y＝f(x)＝2－x+4+1∴2－x+4＝y－1－x+4＝log2(y－1)x＝4－log2(y－1)∴[－2，0]上，f(x)＝4－log2(x－1)应选（B）．练习.1.数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an(n∈N＋)①求a100；②求S100.2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1),f(0)＝2004，求f(2004)3.函数f(x)是定义域为R且以2为周期的周期函数，当x∈[0,2]时，f(x)=|x-1|；当x∈[2k,2k+2](k∈Z)时，求f(x)的解析式，并证明f(x)是偶函数。1.数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an(n∈N＋)①求a100；②求S100.解：由已知a1＝a，a2＝b，所以a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，a7＝a，a8＝b，……由此可知，{an}是以6为周期的周期数列，于是a100＝a6×16＋4＝a4＝－a又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0S