4.2.2用函数模型解决实际问题

4.2．2用函数模型解决实际问题一、教学目标（1）学会用函数的知识解决实际问题的基本方法和步骤。（2）区分不同函数所代表的不同变化趋势，懂得根据不同条件去选取不同函数来解决问题。二、教学重点：1、如何根据实际问题的表述，设出变量，列出函数关系式；2、用待定系数法求出适当的拟合函数；教学难点：根据题目中的数据画出散点图确定函数模型；三、教学过程（一）导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105m，g(20)＝2m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解．思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图像性质，本节我们通过实例比较它们的应用．（二）新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.④分别用表格、图像表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦继续扩大x的取值范围，比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型？活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．①总价等于单价与数量的积．②面积等于边长的平方．③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、…….④列表画出函数图像．⑤引导学生回忆学过的函数模型．⑥结合函数表格与图像讨论它们的单调性．⑦让学生自己比较并体会．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型．讨论结果：①y＝x.②y＝x2.③y＝(1＋5%)x，④如下表x123456y＝x123456y＝x2149162536y＝(1＋5%)x1.051.101.161.221.281.34它们的图像分别为图5，图6，图7.图5图6图7⑤它们分别属于：y＝kx＋b(直线型)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0，抛物线型)，y＝kax＋b(指数型)．⑥从表格和图像得出它们都为增函数．⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y＝(1＋5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y＝logax＋b，我们把它叫作对数型函数．函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系．就可以通过研究函数的性质把握问题，使问题得到解决．（三）变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x＞0)，销售数量就减少kx%(其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个．(1)当k＝12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加．．．．时k的取值范围．解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为y＝a(1＋x%)·b(1－kx%)＝ab10000[－kx2＋100(1－k)x＋10000]．(1)取k＝12，y＝ab10000－12x2＋50x＋10000，所以x＝50，即商品价格上涨50%，y最大为98ab.(2)因为y＝ab10000[－kx2＋100(1－k)x＋10000]，此二次函数的开口向下，对称轴为x＝－kk，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x＞0}的一个子集内增大时，y也增大．所以－kk＞0，解得0＜k＜1.点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.（四）课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．答案：(1)建立函数模型；(2)利用函数图像性质分析问题、解决问题．（五）作业习题4—2A组2.