全等三角形——经典试题汇编-含答案-

衡水中学★内部绝密资料（贝壳课堂）第1页共11页北京中考/一模之全等三角形试题精编北京中考16．已知：如图，点EAC，，在同一条直线上，ABCD∥，ABCEACCD，．求证：BCED.16、△BAC≌△BCD（SAS）所以，BC＝ED海淀一模15.如图，AC//FE,点F、C在BD上，AC=DF,BC=EF.求证：AB=DE.15．证明：∵AC//EF，∴ACBDFE．………………………………………1分在△ABC和△DEF中，,,,EFBCDFEACBDFAC∴△ABC≌△DEF．………………………………4分∴AB=DE．……………………5分东城一模16.如图，点BCFE、、、在同一直线上，12，BFEC，要使ABC≌DEF，还需添加的一个条件是（只需写出一个即可），并加以证明．ABCDEFABCDEF衡水中学★内部绝密资料（贝壳课堂）第2页共11页16．（本小题满分5分）解：可添加的条件为：ACDFBEAD或或（写出其中一个即可）.…1分证明：∵BFEC，∴BFCFECCF.即BCEF.-------2分在△ABC和△DEF中，,12,,ACDFBCEF∴△ABC≌△DEF.--------5分西城一模15．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90º，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC.(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE=30º，求∠BCD的度数.15.（1）证明：如图1.∵∠ABC=90º，D为AB延长线上一点，∴∠ABE=∠CBD=90º.…………………………………………………1分在△ABE和△CBD中,,,,BDBECBDABECBAB∴△ABE≌△CBD.……………………2分（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90º，∴∠CAB=45°.…….……………………3分又∵∠CAE=30º，∴∠BAE=15°.……………………………………………………………4分∵△ABE≌△CBD，∴∠BCD=∠BAE=15°.……………………………………………………5分图1衡水中学★内部绝密资料（贝壳课堂）第3页共11页通州一模15．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，BACDAE，求证：△ABD≌△ACE.15.解：DAEBAC..........................................................................(3分)DABEAC.....................................................................(4分)在AEC和ADB中ACABEACDABAEADAEC≌ADB(SAS).............................................................(5分)石景山一模16．如图，∠ACB=∠CDE=90°，B是CE的中点，∠DCE=30°，AC=CD．求证：AB∥DE．16．证明：∵∠CDE=90°，∠DCE=30°∴CE21DE………………1分∵B是CE的中点，∴CE21CB∴DE=CB………………2分在△ABC和△CED中DECBCDEACBCDACEBACDEBACDEDCBA第16题图衡水中学★内部绝密资料（贝壳课堂）第4页共11页∴△ABC≌△CED………………3分∴∠ABC=∠E………………4分∴AB∥DE.………………5分房山一模15．已知：E是△ABC一边BA延长线上一点，且AE=BC，过点A作AD∥BC，且使AD=AB，联结ED．求证：AC=DE．EADCB15．证明：∵AD∥BC∴∠EAD=∠B.…………………………1分∵AD=AB.……………………………2分AE=BC.……………………………3分∴△ABC≌△DAE.……………………4分∴AC=DE.…………………………5分昌平一模16．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连结CD、BE．求证：CD=BE．16．证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠DAE=∠CAB，∵∠DAE-∠CAE=∠CAB-∠CAE，∴∠DAC=∠EAB，∴△ADC≌△AEB．………………………4分∴CD=BE．………………………5分门头沟一模EDCBAEDCBAEADCB衡水中学★内部绝密资料（贝壳课堂）第5页共11页FEACDB16.已知：如图，AB∥ED，AE交BD于点C，且BC=DC．求证：AB=ED．16.证明：∵AB∥ED，∴∠ABD=∠EDB.………………………….1分∵BC=DC,∠ACB=∠DCE,……………3分∴△ABC≌△EDC.………………….4分∴AB=ED．………………………………5分丰台一模16．已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在线段AD上，且AF=DE．求证：BE=CF．16．证明:AF=DE，AF-EF=DE–EF．即AE=DF．………………1分AB∥CD，∠A=∠D．……2分在△ABE和△DCF中，AB=CD，∠A=∠D，AE=DF．△ABE≌△DCF．……….4分BE=CF．…………….5分2012.5丰台一模24．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判EDCBAMEABCD衡水中学★内部绝密资料（贝壳课堂）第6页共11页断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．24.解：（1）BM=DM且BM⊥DM．………2分（2）成立．……………3分理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，联结CF、BF、BD．易证△EMD≌△CMF．………4分∴ED=CF，∠DEM=∠1．∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，∴∠2=∠3=45°,∠4=∠5=45°．∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9）=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．∴∠8=∠BAD．………5分又AD=CF．∴△ABD≌△CBF．∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．………6分∴∠DBF=∠ABC=90°．∵MF=MD，∴BM=DM且BM⊥DM．.…………7分海淀一模22．阅读下面材料：DCBAEM9衡水中学★内部绝密资料（贝壳课堂）第7页共11页小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形,AOB=COD=90．若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．图1图2小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E,使得OE=CO,连接BE,可证△OBE≌△OAD,从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．请你回答：图2中△BCE的面积等于．请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知△ABC,分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI,连接EG、FH、ID．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于．图322.解：△BCE的面积等于2.…………1分（1）如图（答案不唯一）：……2分以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形是△EGM.…………3分（2）以EG、FH、ID的长度为三边长的三角EDCBAGHIADCOBEBOCDAIHGFABCDE衡水中学★内部绝密资料（贝壳课堂）第8页共11页形的面积等于3．…………5分西城一模24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．(1)求证：BF∥AC；(2)若AC边的中点为M，求证：2DFEM；(3)当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．图1图224．证明：（1）如图6．∵点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，直线DE交直线CH于点F，∴BF=DF，DH=BH．…………………1分∴∠1=∠2．又∵∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，∴∠A＝∠2．∴BF∥AC．………………………………………………………………2分（2）取FD的中点N，连结HM、HN.∵H是BD的中点，N是FD的中点，∴HN∥BF．由（1）得BF∥AC，∴HN∥AC，即HN∥EM．图6图7衡水中学★内部绝密资料（贝壳课堂）第9页共11页∵在Rt△ACH中，∠AHC=90°，AC边的中点为M，∴12HMACAM．∴∠A＝∠3．∴∠EDA=∠3．∴NE∥HM．∴四边形ENHM是平行四边形．………………………………………3分∴HN=EM．∵在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N，∴12HNDF，即2DFHN．∴2DFEM．…………………………………………………………4分（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE．（只猜想结论不给分）证明：连结CD．（如图8）∵点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，∴BC=CD，∠ABC＝∠5．∵AB＝BC，∴1802ABCA，AB＝CD．①∵∠EDA=∠A，∴61802A，AE=DE．②∴∠ABC＝∠6=∠5．∵∠BDE是△ADE的外角，∴6BDEA．∵45BDE，∴∠A＝∠4．③由①，②，③得△ABE≌△DCE．………………………………………5分∴BE=CE．………………………………………………………………6分由（1）中BF=DF得∠CFE=∠BFC．由（1）中所得BF∥AC可得∠BFC=∠ECF．∴∠CFE=∠ECF．∴EF=CE．∴BE=EF．………………………………………………………………7分∴BE=EF=CE．（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE=EF或BE=CE只得2分）北京中考图8衡水中学★内部绝密资料（贝壳课堂）第10页共11页24．在ABC△中，BABCBAC，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ。（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点BM，重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQQD，请直接写出的范围。24、【解析】⑴，30CDB⑵连接PCAD，，易证APDCPD△≌△∴APPCADBCDBPADPCD又∵PQPA∴2PQPCADCCDB，，PQCPCDPAD∴180PADPQDPQCPQD∴360180APQADCPADPQD∴1801802ADCAPQ∴21802CDB∴90CDB⑶∵90CDB，