直线的两点式方程

直线的两点式方程y=kx+by-y0=k(x-x0)k为斜率，P0(x0,y0)为直线上的一定点k为斜率，b为截距1).直线的点斜式方程：2).直线的斜截式方程：解：设直线方程为：y=kx+b例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．一般做法：342kbkb由已知得：12kb解方程组得：所以:直线方程为:y=x+2方程思想还有其他做法吗？为什么可以这样做，这样做的根据是什么？02)1(123431234yxxyk化简可得再由直线的点斜式方程由斜率公式得到斜率123413xy即：得:y=x+2设P(x,y)为直线上不同于P1,P2的动点,与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：211ppppkk二、直线的两点式方程已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),求通过这两点的直线方程．解：设点P(x,y)是直线上不同于P1,P2的点．211121xyyxyyxx可得直线的两点式方程：211121yyxxyyxx∴∵kPP1=kP1P2记忆特点：1.左边全为y，右边全为x2.两边的分母全为常数3.分子，分母中的减数相同推广不是!121121yyyyxxxx是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方程呢？两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．注意：当x1＝x2或y1=y2时,直线P1P2没有两点式程.(因为x1＝x2或y1=y2时,两点式的分母为零,没有意义)那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1＝x2,或y1=y2,此时过这两点的直线方程是什么?当x1＝x2时方程为：x＝x１当y1=y2时方程为：y=y１例2:已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l的方程．解:将两点A(a,0),B(0,b)的坐标代入两点式,得:0,00yxaba1.xyab即所以直线l的方程为：1.xyab四、直线的截距式方程②截距可是正数,负数和零注意：①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线直线与x轴的交点(a,o)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?1.xyab截距式直线方程:直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距⑴过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?解:⑴两条例3:那还有一条呢？y=2x(与x轴和y轴的截距都为0)所以直线方程为：x+y-3=0a=3121aa把(1,2)代入得：1xyaa设:直线的方程为:举例解：三条(2)过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?解得：a=b=3或a=-b=-1直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x1xyabab设截距可是正数,负数和零例4:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程.解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：203230yx整理得：5x+3y-6=0这就是BC边所在直线的方程.举例1212,22xxyyxyBC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：31,22M即整理得：x+13y+5=0这就是BC边上中线所在的直线的方程.05130522yx过A(-5,0),M的直线方程31,22M中点坐标公式：则121222xxxyyy若P1，P2坐标分别为(x1，y1),(x2，y2)且中点M的坐标为(x,y).∵B(3,-3),C(0,2)∴M3032(,)22即M31(,)22已知直线l:2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的直线l1的方程.解：当x=0时,y=3.点(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(2,7).当x=-2时,y=1.点(-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(4,3).那么,点(2,7),(4,3)在l1上.因此,直线l1的方程为：723742yx化简得:2x+y-11=0思考题还有其它的方法吗？∵l∥l1，所以l与l1的斜率相同∴kl1=-2经计算，l1过点(4,3)所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4)化简得：2x+y-11=0名称几何条件方程局限性斜截式点斜式两点式截距式byk轴上的纵截距斜率,bkxy轴的直线不垂直于xkyxP和斜率，点)(001)(00xxkyy轴的直线不垂直于x)()(222111yxPyxP，和点，点211211xxxxyyyy轴的直线、不垂直于yxbyax轴上的截距在轴上的截距在1byax不过原点的直线轴的直线、不垂直于yx归纳直线方程的四种具体形式(1)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗？(2)每一个关于x,y的二元一次方程都表示直线吗？思考分析：直线方程二元一次方程(2)当斜率不存在时L可表示为x-x0=0,亦可看作y的系数为0的二元一次方程.(x-x0+0y=0)结论1：平面上任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.(1)当斜率存在时L可表示为y=kx+b或y-y0=k(x-x0)显然为二元一次方程.即：对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0(A.B不同时为0)，判断它是否表示一条直线？BCxBAy（1）当B0时，方程可变形为它表示过点，斜率为的直线.),0(BCBA（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不为零,于是方程可化为，它表示一条与y轴平行或重合的直线.ACx结论2:关于x,y的二元一次方程,它都表示一条直线.直线方程二元一次方程由1，2可知：直线方程二元一次方程定义：我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.定义在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于x轴：（2）平行于y轴：（3）与x轴重合：（4）与y轴重合：分析:(1)直线平行于x轴时,直线的斜率不存在,在x轴上的截距不为0．即A=0,B0,C0.(2)B=0,A0,C0.(3)A=0,C=0,B0.(4)B=0,C=0,A0.探究例1已知直线过点A(6，4)，斜率为,求直线的点斜式和一般式方程.34解：代入点斜式方程有y+4=(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0.举例34例2把直线L的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式,求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形.解：化成斜截式方程y=x+3因此，斜率为k=,它在y轴上的截距是3.令y=0得x=－6.即L在x轴上的截距是－6.由以上可知L与x轴,y轴的交点分别为A(-6，0)B(0，3),过A，B做直线,为L的图形.2121举例m,n为何值时,直线mx+8y+n=0和2x+my-1=0垂直?解:（1）若两条直线的斜率都存在，则m不等于0，且两条直线的斜率分别为但由于所以两条直线不垂直..28mm、141)2()8(mm（2）若m=0，则两条直线中一条直线的斜率为0，另一条斜率不存在，这时两条直线垂直，方程分别为.21,8xny综上知：m=0，n为全体实数时，两条直线垂直.点评:分类讨论思想的运用,如不分类将找不到正确答案.练习3)中点坐标：121222xxxyyy211121xyyxyyxx1)直线的两点式方程2)直线方程的一般式Ax+By+C=0小结直线的截距式方程：1.xyab