直线的交点坐标与距离公式

1．直线的交点坐标(1)点、线关系及代数表示基础知识梳理几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：Ax＋By＋C＝0点A在直线l上直线l1与l2的交点是A方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0，解得x＝ay＝bAa＋Bb＋C＝02)两直线交点的求法两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解．2．距离公式类型条件公式两点间的距离两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|＝点到直线的距离点P0(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0d＝两平行线间的距离直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0d＝(转化为点到直线的距离)(x2－x1)2＋(y2－y1)2|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2例1△ABC的两条高所在直线的方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程．考点一求两条直线的交点•已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程．[分析]如右图，由点斜式得l方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标(用k表示)，再利用|AB|＝5可求出k的值，从而求得l的方程．跟踪练习1•[解析]解法1：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1、l2的交点分别为A′(3，－4)、B′(3，－9)，截得的线段A′B′的长|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符合题意.•若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1(k≠－1)．解方程组y＝kx－3＋1，x＋y＋1＝0，得A(3k－2k＋1，－4k－1k＋1)．解方程组y＝kx－3＋1，x＋y＋6＝0，得B(3k－7k＋1，－9k－1k＋1)．由|AB|＝5.得(3k－2k＋1－3k－7k＋1)2＋(－4k－1k＋1＋9k－1k＋1)2＝52.解之得，k＝0，∴直线l方程为y＝1.综上可知，所求l的方程为x＝3或y＝1.解法2：因为平行线间的距离d＝|6－1|2＝522，如图，直线l被两平行线截得的线段为5，设直线l与两平行线的夹角为θ，则sinθ＝22，∴θ＝45°.因为两平行线的斜率是－1，故所求直线的斜率不存在或零．又因为直线l过点P(3,1)，所以直线l的方程为x＝3或y＝1.1．点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握．2．点到几种特殊直线的距离(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|.(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|.考点二距离问题(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝|y0－a|.(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.提醒：点到直线的距离公式当A＝0或B＝0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离．例2已知点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．距离为d的两平行直线l1、l2，它们分别经过点M(－2，－2)，N(1,3)，并绕着M、N旋转且保持平行．求当d取得最大值时的两直线l1、l2的方程．跟踪练习2[解析]解法1当l1、l2不与y轴平行时，令直线l1、l2的方程分别为y＝kx＋b1，y＝kx＋b2.由于l1过点M(－2，－2)，l2过点N(1,3)，∴－2＝－2k＋b1，①3＝k＋b2.②由①－②得b1－b2＝3k－5，由d＝|b1－b2|1＋k2＝|3k－5|1＋k2两边平方，整理，得(d2－9)k2＋30k＋d2－25＝0.③由k∈R，得Δ＝302－4(d2－9)(d2－25)≥0.又d0，故解得0d≤34.当l1、l2平行于y轴时，d＝334.∴当d＝34时，③化为25k2＋30k＋9＝0，解得k＝－35，代入①②得b1＝－165，b2＝185.∴l1x＋5y＋16＝0，l2x＋5y－18＝0.解法2由几何知识可知，当l1⊥MN时，l1与l2的距离最大，最大值为|MN|＝34.由l1⊥MN知，k1＝－1kMN＝－35，∴l1的方程为y＋2＝－35(x＋2)，即3x＋5y＋16＝0.l2的方程为y－3＝－35(x－1)，即3x＋5y－18＝0.1231212132004752101010121225lxyaalxylxyllaPPPPlPlPlPlP练习已知三条直线：－＋＝，直线：－＋＋＝和直线：＋－＝，且与的距离是求的值；能否找到一点，使得点同时满足下列三个条件：①是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与到的距离之比是∶；若能，求点坐标；若不能，说明理由．21222001200001212021||752102117||03.22()120(3)21|||3|13112265513112020.26lxylladaaaPxyPPlllxycccccccxyxy由：－－＝，所以与的距离＝化得：＋＝，因，所以＝，，若足件，在与，平行的直系：－＋＝，且－上，且2.＝，即＝或＝所以－＋【＝或－＋】＝解析00000000000000000000000|23||1|2552|23||1|24032032013320()2124021112092240PxyxyxyxyxyxPxxxyyxyxxyxyy若点满足条件③，由点到直线的距离公式，有：＝即－＋＝＋－，所以－＋＝，或＋＝，由在第一象限，所以＋＝不可能，－＋由方程组：舍去，－＋＝－＋由得－＋＝0137()3791818P，所以，，即为同时满足三个条件的点．点的对称是对称问题的本质，也是对称的基础．只要搞清了点关于点、直线的对称规律，则曲线关于点、直线的对称规律便不难得出．解决此类问题，首先应明确对称图形是什么，其次，确定对称图形与对称轴的关系．常用到两点：(1)两对称点的中点在对称轴上(利用中点坐标公式)；(2)两对称点的连线与对称轴垂直(若二者存在斜率，则斜率之积为－1)．考点三对称问题例3已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．【思维总结】(1)点关于线对称，不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题；(2)线关于线对称，不能转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，不能转化为点关于点的对称问题．例3条件不变，求直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．互动探究考点四直线中的最值问题例4.在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.【分析】设B关于l的对称点为B′,AB′与l的交点P满足（1）;C关于l的对称点为C′,AC′与l的交点Q满足(2).事实上,对于(1),若P′是l上异于P的点,则|P′A|-|P′B|=|P′A|-|P′B′||AB′|=|PA|-|PB′|=|PA|-|PB|;对于（2），若Q′是l上异于Q的点，则|Q′A|+|Q′C|=|Q′A|+|Q′C′||AC′|=|QA|+|QC|.返回目录【解析】(1)如图所示,设点B关于l的对称点B′的坐标为(a,b),则kBB′·kl=-1,即3·=-1.∴a+3b-12=0①又由于线段BB′的中点坐标为(,),且在直线l上,∴3×--1=0.即3a-b-6=0②解①②得a=3,b=3,∴B′(3,3).于是AB′的方程为,即2x+y-9=0.3x-y-1=0x=22x+y-9=0,y=5,即l与AB′的交点坐标为P（2，5）.返回目录a4-ba4-b2α2αa4-b4-34-x1-31-y={{解得(2)如图所示,设C关于l的对称点为C′,求出C′的坐标为().∴AC′所在直线的方程为19x+17y-93=0,AC′和l交点坐标为(),则P点坐标为().返回目录524,53726,711726,711【评析】(1)在直线l上求一点P,使P到两定点的距离之和最小.①当两定点A,B在直线l异侧时,由两点之间线段最短及三角形中任意两边之和都大于第三边可知,点P为AB连线与l的交点;点P到两定点距离之和的最小值为|AB|的长度,如图.|P′A|+|P′B|≥|AB|=|PA|+|PB|.当且仅当A,B,P三点共线时等式成立.返回目录②当两定点A,B在直线l的同侧时,作点A关于直线l的对称点为A′.连结A′B交直线l于点P,则点P到两定点A,B的距离之和最小.(2)在直线l上求一点P,使P到两定点的距离之差的绝对值最大.返回目录①当两定点A,B在直线l的同侧时(AB连线与l不平行),连结A,B两点所在的直线,交直线l于点P.如图,在l上任取一点P′,则有当||P′B|-|P′A||≤|AB|=|PB|-|PA|,当P′与P两点重合时,等号成立,最大的值为|AB|.重合时,等号成立,最大值为|A′B|.②当两定点A,B在直线l的异侧时,作点A关于直线l的对称点A′,连结A′B,交l于点P,如图可知,||PB|-|PA′||=|A′B|时,达到最大.在l上任取一点P′,则∵||P′B|-|P′A′||≤|A′B|,∴当P′点与P点重合时,等号成立,最大值为|A′B|.返回目录已知点A(3,1)，在直线x－y＝0和y＝0上分别有点M和N使△AMN的周长最短，求点M、N的坐标．练习规律方法总结1．中心对称(1)若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得x＝2a－x1y＝2b－y1.(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．