直线系方程

直线的位置关系（5）------直线系问题直线系方程的分类直线系方程的定义直线系方程的应用〔课堂结构〕一、直线系方程的定义•直线系：•具有某种共同性质的所有直线的集合.它的方程叫直线系方程。二、直线系方程的种类1:1:与直线L：Ax+By+C=0平行的直线系方程为：Ax+By+m=0（其中m≠C，m为待定系数）；yox直线系方程的种类2:2:与直线L：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为:Bx-Ay+m=0（m为待定系数）.yxo直线系方程的种类3:3.过定点P（x0，y0）的直线系方程为：A(x-x0)+B(y-y0)＝0设直线的斜率为A(x-x0)+B(y-y0)＝0(1))(00xxBAyyy-y0＝k(x-x0)(2)说明:(2)比(1)少一条直线即:(2)应考虑k不存在的情况yxo问题：若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的直线系方程为：m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0其中m、n为待定系数.证明：,0xA0CyBxA),(x22211100的交点与是设CyBy,0xA0CyBxA:,),(x202021010100CyBy且得入二方程代所以m(A1x0+B1y0+C1)+n(A2x0+B2y0+C2)=0直线m(A1x0+B1y0+C1)+n(A2x0+B2y0+C2)=0经过点（x0，y0）直线系方程的种类4:4.若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的直线系方程为:m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(1),其中m、n为待定系数.A1x+B1y+C1+k(A2x+B2y+C2)=0(2)其中k为待定系数.方程(2)比(1)少一条直线。yox例.求证：无论m取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标。01440104xy解法2：令m=1，m=-3代入方程，得：25y27x解得：2527yx解得：所以直线恒过定点25,27又因为:3.5(m-1)-2.5(m+3)-(m-11)=0三、直线系方程的应用:例1.求证：无论m取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标。0)1(113yxmyx解法1：将方程变为：解得：010113yxyx2527yx即：故直线恒过25,27若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定点，通常有两种方法：方法小结：法二：从特殊到一般，先由其中的两条特殊直线求出交点，再证明其余直线均过此交点。法一:分离系数法，即将原方程改变成：f(x,y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与m的取值无关，故从而解出定点。例2:求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线L的方程。(1)过点(2,1)(2)和直线3x-4y+5=0垂直。0)2(42yxyx代（2，1）入方程，得：4所以直线的方程为：x+2y-4=0解（1）：设经二直线交点的直线方程为：0)212(422例2:求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线L的方程。(1)过点(2,1)(2)和直线3x-4y+5=0垂直。0)24()2()1(yx解得：21k由已知：1432111故所求得方程是：4x+3y-6=0解（2）：将（1）中所设的方程变为：本题采用先用直线系方程表示所利用待定系数法来求解.函数或曲线类型问题中,我们都可以这种方法称之为待定系数法,在已知待定常数,从而最终求得问题的解.求直线方程,然后再列式,求出方程的方法小结：练习1一.已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：______:09-2yx032y-x.1的直线方程是的交点和原点和过两直线______:042-3,02-4yx30103y-x2.2的直线是且垂直于直线的交点和过两直线yx______:073-4,012yx08yx2.3的直线是且平行于直线的交点和过两直线yx______:,02y-x332xy.4直线方程是且垂直于第一条直线的的交点和过两直线y=x2x+3y-2=04x-3y-6=0x+2y-11=05．若直线方程为(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0求证：无论m为何值时，所给直线恒过定点。05218)-3ym(2xyx得:05201832yxyx解得:2/94yx所以无论m为何值,直线均经过定点(4,9/2)解:将方程化为:两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程,如:L1:x+2y-1=0,L2:x-y=0,相乘后就得:x2+xy-2y2-x+y=0那么,反过来,如果已知一个二元二次方程是由两条直线的方程相乘所得,我们也可以先设出这两条直线的方程,再利用待定系数法求出它们.请看下面的例子:四、一个二次方程表示两条直线的问题:例3:问k为何值时，方程3x2+2xy-y2+7x-5y+k=0表示两条直线？解（待定系数法）：将方程化作：0)57())(3(kyxyxyx设：0))(3(nyxmyx则0)()3())(3(mnnmynmxyxyx所以：kmnnmnm573解得：632mnknm即：k=-6时方程表示两条直线。1．方程x2-y2=0表示的图形是：————2．直线系6x-4y+m=0中任一条直线与直线系2x+3y+n=0中的任一条直线的位置关系是_______.练习20y-x0与二相交直线yx垂直3.方程表示两条直线，求m的取值范围。方程应有非负根,故设:t=所以030300)0(01236tmfm对称轴0m3036myxyx036)(:2myxyx将方程化作,0yx036:2mtt得解: