相交线和平行线

相交线和平行线一、本章知识结构图平面内两条直线的位置关系相交线三线八角两线四角平行线平行公理及推论邻补角对顶角垂线及性质斜线同位角内错角同旁内角平行线的判定平行线的性质命题假命题真命题公理和定理概念：有一个公共点的两条直线形成相交直线.请你画出任意两条相交直线.看看这四个角有什么关系?问题:两条相交直线.形成的小于平角的角有几个?相交线OABCD）（1342）（OABCD）（1342）（有关概念：邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角。对顶角：如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角。对顶角相等.对顶角的性质:OABCD）（1342）（为什么?已知：直线AB与CD相交于O点(如图),说明∠1=∠3、∠2=∠4的理由解：∵直线AB与CD相交于O点,∴∠1+∠2=180°、∠2+∠3=180°∴∠1=∠3同理可得：∠2=∠41练习1、下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？21212)((())1练习2、下列各图中∠1、∠2是邻补角吗？为什么？21212(((（解：∵∠DOB=∠，（）=80°（已知）∴∠DOB=°（等量代换）又∵∠1=30°（）∴∠2=∠-∠=-=°1、一个角的对顶角有个，邻补角最多有个，而补角则可以有个。3、如图，直线AB、CD相交于O，∠AOC=80°∠1=30°；求∠2的度数.ACBDE1一两无数AOC∠AOCDOB180°30°50对顶角相等已知课堂练习802、右图中∠AOC的对顶角是,邻补角是.∠DOB∠AOD和∠COB2))O例1，如图1，直线AB、CD交EF于点G、H，∠2=∠3，∠1=70度。求∠4的度数。解：∵∠2=∠（）∠1=70°（）∴∠2=（等量代换）又∵（已知）∴∠3=（）∴∠4=180°—∠=（的定义）ACDBEFGH1234四、解答题直线AB、CD交于点O，OE是∠AOD的平分线，已知∠AOC=50°求∠DOE的度数。ABCDOE图1图21对顶角相等已知70°∠2=∠370°等量代换3110°邻补角归纳小结角的名称特征性质相同点不同点对顶角邻补角对顶角相等邻补角互补②有公共顶点;③没有公共边①两条直线相交形成的角；①两条直线相交而成；②有公共顶点;③有一条公共边①都是两条直线相交而成的角；③都是成对出现的②都有一个公共顶点；②两直线相交时，对顶角只有两对邻补角有四对①有无公共边1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。例如、如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线。baO一、垂直的定义从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。垂线ba用“⊥”和直线字母表示垂直Oα2.垂直的表示：例如、如图，a、b互相垂直,垂足为O，则记为：a⊥b或b⊥a,若要强调垂足，则记为：a⊥b,垂足为O.结论:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.能作一条,而且只能作一条.问题:过已知直线l和l上(或外)的一点A,作l的垂线,可以作几条?注意:过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.EEE注意:画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。垂线段最短直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。PABCmD垂线段的长度简单说成：垂线段最短．看谁做得快1.若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则__________。2.若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD＝____。3.如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1:5，那么∠COA＝_____,∠BOC的补角为______度。Omn1BCAOm⊥n90°72°1623l1l2l12345678直线、被直线所截3l1l2l同位角内错角同旁内角∠1和∠5∠4和∠8∠2和∠6∠3和∠7∠3和∠5∠4和∠6∠4和∠5∠3和∠6截线被截直线同位角，内错角，同旁内角练一练如图：找出图中数字标注的角的同位角，内错角，同旁内角。1234561、平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。思考:（１）如果没有“同一平面内”，不相交的两条直线平行吗？（２）定义中的“直线”能改成“线段或射线”吗？我们通常用“//”表示平行。2、平行线的表示法：CDBA····m∥nAB∥CDmn读作：“AB平行于CD”读作：“m平行于n”同一平面内的两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行在同一平面内，两条直线有几种位置关系呢？(1)经过点C能画出几条直线与直线AB平行？(2)过点D画一条直线与直线AB平行，它与(1)中所画的直线平行吗？①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。··ABCD·B如果a//b,b//c,那么a//c.·1、下列语句中，正确的个数是（）（1）不相交的两条直线是平行线（2）同一平面内，两直线的位置关系有两种，即相交或平行（3）若线段AB与CD没有交点则AB//CD（4）若a//b,b//c,则a与c不相交（A)1个（B）2个（C）3个（D）4个2、已知直线L1与L2都经过点P，并且L1//L3，L2//L3，那么L1与L2必须重合，这是因为（）B经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。３、下列说法正确的是（）Ａ、一条直线的平行线有且只有一条Ｂ、经过一点有且只有一条直线与已知直线平行Ｃ、经过一点有两条直线与某一直线平行Ｄ、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行Ｄ平行线的性质（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（1）两直线平行，同位角相等；简单地说，就是：（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补。平行线的判定（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两天直线平行。（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两天直线平行。（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两天直线平行。（1）同位角相等；两直线平行。简单地说，就是：（2）内错角相等；两直线平行。（3）同旁内角互补：两直线平行。如图，已知：∠DAF=∠AFE，∠ADC+∠DCB=180°，求证：EF∥BC证明：由：∠DAF=∠AFE（）根据：.得：AD∥.由：∠ADC+=180°（已知）.根据：.得：AD∥.再据：.得：EF∥BCADBCFE已知内错角相等，两直线平行EF∠DCB同旁内角互补，两直线平行BC平行于同一直线的两条直线互相平行如图，已知：∠2=∠3，∠1+∠3=180°，求证：EF∥GH.•证明：由：∠2=∠3（已知）∠1+∠3=180°（）根据：.•得：∠1+∠2=180°.•根据：.得：。231ABCDEFGH已知等量代换同旁内角互补，两直线平行EF∥GH平移1、平移的概念2、平移的特点在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。(1)平移不改变图形的形状和大小(2)对应点连线平行且相等探索：如何将三角形ＡＢＣ平移，使点Ａ移动到点D画出平移后的三角形。ABCFDE解：三角形DEF就是所作的三角形命题，命理1、命题：判断一件事情的语句叫命题。2、公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的根据的命题，叫做公理。3、定理：经过推理论证为正确的命题叫定理。也可作为继续推理的依据。4、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明（公理和定理都是真命题）；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。（1）正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。（2）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果…，那么…”的形式。综合练习练习一、1．如图1，直线AB、CD、EF相交于O，∠AOE的对顶角是，邻补角是，∠COF的对顶角是，邻补角是2．如图2，∠BDE的同位角是，内错角是，同旁内角是；∠ADE与∠DGC是直线被所截成的角.3．如图3，三条直线a、b、c交于一点O，∠1=45°，∠2=60°，∠3=.4．如图4，∠1=105°，∠2=95°，∠3=105°，∠4=.∠BOF∠AOF或∠BOE∠DOE∠EOC或∠DOF∠BGC∠DGF∠DGCDE,FCAB同位75°85°5、当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，就说这两条直线，它们的交点叫做.6．直线外一点到直线上各点连结的所有线段中，垂线段，这条垂线段的长度叫做.7．经过直线外一点，有且只有条直线与这条直线平行；过一点有且只有条直线与已知直线垂直.8．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线.9．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等或相等或互补，那么这两条直线平行.10．两条平行直线被第三条直线所截，则相等，相等，互补.互相垂直垂足最短点到直线的距离一一互相平行内错角同旁内角同位角内错角同旁内角练习二、已知三角形ABC，（1）过A点画BC边上的垂线；（2）过C点画AB边上的垂线.BACDE解：如图，（1）AD是BC边上的垂线；（2）CE是AB边上的垂线.1.如图14，已知AB∥ED，∠CAB=135°，∠ACD=80°，求∠CDE的度数.课堂练习ABCDE(图14)135°80°F2.如图13，已知OA⊥OC，OB⊥OD，∠3=26°，求∠1、∠2的度数.解:∵OB⊥OD(已知),∴∠BOD=90°(垂直定义).即∠2+∠3=90°.又∵∠3=26°(已知),∴∠2+26°=90°(等量代换).∴∠2=64°(等式的性质).又∵OA⊥OC(已知),∴∠1+∠2=90°(垂直定义).∴∠1=∠3=26°(同角的余角相等).3.已知：如图15，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3.求证：AD平分∠BAC.证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G(已知),∴AD∥EG(垂直于同一条直线的两条直线互相平行).∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等).∠1=∠E(两直线平行,同位角相等)又∵∠E=∠3(已知),∴∠1=∠2(等量代换).∴AD平分∠BAC(角平分线定义).例1．已知：如图5，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED.ABEDC（图5）证明：过点E作EF∥AB，∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）.∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）.∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）.又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）.12F变式1.已知：如图6，AB∥CD，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D）.ABECD(图6)12F证明：过点E作EF∥AB，∴∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵AB∥CD（已知），EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）.∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）.又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）.∴∠BED=360°-（∠B+∠D）（等式的性质）.变式2.已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B.DABEC(图7)F证明：过点E作EF∥AB，∴∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）.∵AB∥CD（已知），EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）.∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）.∵∠BED=∠FED-∠FEB，∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）.变式3.已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B-∠D.ABEDCF12证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁