有限元第三章 单元类型及单元刚度矩阵

第三章单元类型及单元刚度矩阵一、形状函数类型及其特征1.Langrange型形状函数2.Hermite型形状函数二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元2.三次梁单元三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元2.矩形单元四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元2.四面体单元3.曲线等参元第三章单元类型及单元刚度矩阵有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单元内用较简单的函数描述单元位移，即miiiqxNxu1)()(~这是对单元位移u(x)的近似。在前面两章的介绍中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内点位移，这里所用的变量qi，是节点位移的一种推广，即一组广义坐标，或称广义节点位移，包括节点位移和节点位移导数。Ni为形状函数。根据单元广义节点位移的不同，形状函数分两类：Langrange和Hermite型。1.Langrange型形状函数，这时节点广义位移为节点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之确定。2.Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点位移和节点位移导数。一、形状函数类型及其特征在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设适应满足的4项原则。●包含单元的刚体位移●包含单元的常应变状态●保证不偏惠各坐标轴●保证单元内位移连续体现位移函数完备性体现位移函数几何不变性体现位移函数协调性一、形状函数类型及其特征要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。3223221yxyyxxyxyxyx二维单元的帕斯卡三角形一、形状函数类型及其特征三维的帕斯卡三角形3222232232221zyzxzzyxyzzxyxyyxxzyzzxyxyxzyx一、形状函数类型及其特征形状函数应该满足以下条件1.2.3.保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续4.保证所定义位移函数反映常应变状态0011jiiiliXNilXNilXN11miiiXN一、形状函数类型及其特征工程实际中有一种结构，特征为：存在一个长维，但相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可以为任意。比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问题的不同，一维单元又可分为杆单元和梁单元。二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用，将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。●一次杆单元单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,采用局部坐标，记，并取i为x坐标的原点，则有lxi(1)j(2)lFFxξjixxxx10根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。对于上述问题，已知节点位移为ui,uj,而要求节点间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算（二点一次拉氏插值），即lxNlxlN21;)(212121000uuNNuulxullxu1.杆单元●一次杆单元二、一维单元及其单元刚度阵代入，有21;1NN令21;1得2211;NN所以单元内点位移为2121)(uuxu单元应变212111uuddNddNldduldxdddudxdu1.杆单元●一次杆单元二、一维单元及其单元刚度阵eBuul21111所以，几何矩阵为llB11单元应力为E弹性矩阵ED单元刚度矩阵通式为dVBDBkTVe二、一维单元及其单元刚度阵代入，得1111lEABDBAldxBDBAkTlTe这是一次杆单元的单刚阵，它对称、对角线元素大于零且奇异！1.杆单元●一次杆单元当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时，其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为：1111lGJkei(1)j(2)lMnxξMn二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●一次杆单元●二次杆单元单元有三个节点，如图所示，端点编号为i、j,三个节点依次为1、3、2。单元位移可以根据抛物线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即jixxxx10i(1)j(2)lFFxξ(3)同样令21;1二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元2132222212114)1(4222)1)(12(NNN321)2)(2())(0()2()2)(0())(2())(2()(ulllxxulllxxulllxlxxu令二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●二次杆单元所以单元内点位移为321321)(uuuNNNxu单元应变eBuuuddNddNddNl3211211二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●二次杆单元)44()14()14(12121lB几何矩阵为单元应力为EED单元刚度矩阵16888718173lEAdxBDBAklTe二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●二次杆单元73)14(201211lEAdxlEAkl元素的计算)!1()!)(!()(122121nmnmxxdxnxxm可以直接应用元素的计算73)14(022222lEAdxlEAkl163)44(0221233lEAdxlEAkl13)14)(14(022212lEAdxlEAkl二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●二次杆单元元素的计算二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●二次杆单元)8(3)44)(14(0212223lEAdxlEAkl)8(3)44)(14(0211213lEAdxlEAkl其余元素利用对称性可求得233212311221kkkkkk2.三次梁单元梁单元如图所示，仅考虑节点在xoy平面内的位移为v、θ，这时一个单元有四个自由度，形状函数为三次多项式，即使用三次Hermite插值多项式。二、一维单元及其单元刚度阵12lMz1xMZ2yzQy2Qy12.三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵TvvNNNNlxlxllxxvlxllxvllxlxxv2211432122122212)00)(()0)(0()00)(021()0)(0021()(Hermite位移插值多项式2.三次梁单元224223222221)1())(()23()()(21)1()1()1)(21())(21(llxlxNlxllxNllxxNllxlxN其中二、一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元22dxvdy根据平面梁弯曲变形公式（忽略剪切变形）2211242232222212vvdxNddxNddxNddxNdyeBNyNNNNyB4321其中二、一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元)2(2)13(2)21(6)21(6)2(2)23(2)21(6)12(612422231221221llNllNllNllN二、一维单元及其单元刚度阵jixxxx10同样令2112.三次梁单元单元应力为EED单元刚度矩阵dxNNEJdxdANNyEdxdABDBdVBDBklTzlATlATVTe0020)()(引入AzdAyJ2二、一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元2222346266126122646612612lllllllllllllEJkze单元刚度矩阵32401112)12(36lEJdxlEJkzlz元素的计算二、一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵lEJdxlEJkzlz4)23(422022元素的计算32403312)21(36lEJdxlEJkzlzlEJdxlEJkzlz4)13(422044230126)23)(12(12lEJdxlEJkzlz2.三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵3401312)21)(12(36lEJdxlEJkzlz元素的计算230146)13)(12(12lEJdxlEJkzlz230236)21)(23(12lEJdxlEJkzlz2.三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵230346)13)(21(12lEJdxlEJkzlz元素的计算lEJdxlEJkzlz2)12)(23(42024其余元素利用对称性可求的344324422332144113311221kkkkkkkkkkkk二维单元用于分析和解决平面问题和轴对称为题。在第二章中已详细介绍过，而且是在直角坐标中推导的。在下面这一节中，我们将介绍两种平面单元，即三角形单元和四边形单元，包括一次和二次三角形单元以及一次四边形单元。三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元三角形单元按其位移的阶数分为一、二、三次单元。●一次三角形单元第二章详细介绍过这种单元，其形状函数是坐标的一次多项式，推导采用直角坐标。对于高次三角形单元，这类坐标不方便，特此引入面积坐标。1.三角形单元●一次三角形单元三、二维单元及其单元刚度阵●面积坐标如图所示，在三角形单元A1A2A3中，有任意一点P(x,y)连接PA1、PA2、PA3,得到三个小三角形：ΔPA2A3、ΔPA3A1、ΔPA1A2,记面积比为：321213321132321321AAAAPAAAAAPAAAAAPA称λ1、λ2、λ3为P点的面积坐标xyA1A2A3P(x,y)o三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标由于λ1+λ2+λ3=1，因此该三个坐标不独立。其负号的规定为：分子分母对应的三角形顶点编号转向相同时为正，反之为负，由于三角形A1A2A3的顶点编号一般规定为逆时针，因此，子三角形顶点编号为逆时针时面积坐标为正，反之为负。xyA1A2A3P(x,y)o三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标三角形中一些特殊点的面积坐标顶点)1,0,0()0,1,0()0,0,1(321AAA边中点)0,21,21()21,0,21()21,21,0(654AAA形心)31,31,31(GxyA1A2A3GA6A5A4o三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标与直角坐标的关系三角形三个顶点在直角坐标系中的坐标为（xi,yi）,则ΔA1A2A3的面积为Dyyyxxx2111121321321类似地三个小三角形的面积依次为三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标与直角坐标的关系3232)1(11121yyyxxx1313)2(11121yyyxxx2121)3(11121yyyxxx三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标与直角坐标的关系32