向量的加减法

2.2.1向量的加法【学习要求】1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．【学法指导】1．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2．向量的三角形法则可推广到n个向量求和——多边形法则，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是由第一个向量起点指向第n个向量的终点的向量．3．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的．而当两个向量共线时，三角形法则适用，平行四边形法则就不适用了.1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作，即a＋b＝AB→＋BC→＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝＋＝.a＋baAC→0aAC→填一填·知识要点、记下疑难点(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则O、A、B三点不共线,以,为邻边作，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝.OAOB平行四边形OC→b＋aa＋(b＋c)本课时栏目开关填一填研一研练一练探究点一向量加法的三角形法则通过上面地图中客机的位移，我们得到向量加法的三角形法则：OA→＋AB→＝OB→.使用向量加法的三角形法则具体做法是：先把两个向量首尾顺次相接，然后连结第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量．问题1当向量a，b是共线向量时，a＋b又如何作出？答(1)当a与b同向时：OB→＝OA→＋AB→＝a＋b(2)当a与b反向时：OA→＝a，AB→＝b，OB→＝OA→＋AB→＝a＋b.问题2想一想，|a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？当a与b同向共线时，a＋b与同向，且|a＋b|＝.当a与b反向共线时，若|a||b|，则a＋b与的方向相同，且|a＋b|＝；若|a||b|，则a＋b与的方向相同，且|a＋b|＝.a，b|a|＋|b||a|－|b||b|－|a|ab探究点二向量加法的平行四边形法则向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和．以点A为起点作向量AB→＝a，AD→＝b，以AB、AD为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线AC→就是a与b的和，记作a＋b＝AC→，如图．对于零向量与任一向量a，我们规定：a＋0＝0＋a＝a.①根据下图中的平行四边形ABCD验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.(注：AB→＝a，AD→＝b)．答∵AC→＝AB→＋BC→，∴AC→＝a＋b.∵AC→＝AD→＋DC→，∴AC→＝b＋a.∴a＋b＝b＋a.②根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．答∵AD→＝AC→＋CD→＝(AB→＋BC→)＋CD→，∴AD→＝(a＋b)＋c，又∵AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋(BC→＋CD→)，∴AD→＝a＋(b＋c)，∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．探究点三向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．即：A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝.或A1A2＋A2A3＋…＋An－1An＋AnA1＝.这是一个极其简单却非常有用的结论．A1An0利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效．例如，在正六边形ABCDEF中，AC→＋BD→＋CE→＋DF→＋EA→＋FB→＝________.解析AC→＋BD→＋CE→＋DF→＋EA→＋FB→＝(AB→＋BC→)＋(BC→＋CD→)＋(CD→＋DE→)＋(DE→＋EF→)＋(EF→＋FA→)＋(FA→＋AB→)＝(AB→＋BC→＋CD→＋DE→＋EF→＋FA→)＋(BC→＋CD→＋DE→＋EF→＋FA→＋AB→)＝0＋0＝0.0[典型例题]例1已知向量a，b如图所示，试用三角形法则和平行四边形法则作出向量a＋b.解方法一三角形法则．(图1)图1在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b.方法二平行四边形法则．(图2)图2在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形，连结对角线OC，则OC→＝OA→＋OB→＝a＋b.小结已知向量a与b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据三角形法则或平行四边形法则作图．跟踪训练1如图，已知向量a，b，c，利用三角形法则作出向量a＋b＋c.解在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，接着作向量AB→＝c，则得向量OB→＝a＋c，然后作向量BC→＝b，则向量OC→＝a＋b＋c为所求和向量．视频演示例2化简：(1)BC→＋AB→；(2)DB→＋CD→＋BC→；(3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→.解(1)BC→＋AB→＝AB→＋BC→＝AC→.(2)DB→＋CD→＋BC→＝BC→＋CD→＋DB→＝(BC→＋CD→)＋DB→＝BD→＋DB→＝0.(3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝AB→＋BC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AD→＋DF→＋FA→＝AF→＋FA→＝0.小结解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．跟踪训练2如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．(1)AB→＋AD→＝________；(2)AC→＋CD→＋DO→＝________；(3)AB→＋AD→＋CD→＝________；(4)AC→＋BA→＋DA→＝________.AC→AO→AD→0例3在水流速度为43km/h的河中，如果要船以12km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．解如图，设AB→表示水流速度，则AC→表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则AD→即表示船航行的速度．因为|AB→|＝43，|AC→|＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝4312＝33，即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.所以|AD→|＝83，∠BAD＝120°.即船航行的速度为83km/h，方向与水流方向所成角为120°.小结速度、位移等物理量均为向量，因此此类问题可以通过建模，转化为数学中的向量问题解决．跟踪训练3某人在静止的水中的游泳速度为23km/h，如果他以这个速度径直游向河对岸，已知水流的速度为2km/h，那么他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？解设此人在静水中的游泳速度为OA→，水流的速度为OB→，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则此人的实际速度为OC→＝OA→＋OB→，根据勾股定理知|OC→|2＝|OA→|2＋|OB→|2＝12＋4＝16，∴|OC→|＝4.又在Rt△OBC中，cos∠BOC＝|OB→||OC→|＝24＝12.所以此人沿与河岸夹角为60°，顺着水流的方向前进，且速度的大小为4km/h.1.设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：(1)DE→＋EA→＝________；(2)BE→＋AB→＋EA→＝______；(3)DE→＋CB→＋EC→＝________；(4)BA→＋DB→＋EC→＋AE→＝________.DA→0DB→DC→2．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中正确的是.①FD→＋DA→＋DE→＝0②AD→＋BE→＋CF→＝0③FD→＋DE→＋AD→＝AB→④AD→＋EC→＋FD→＝BD→解析FD→＋DA→＋DE→＝FA→＋DE→＝0，AD→＋BE→＋CF→＝AD→＋DF→＋FA→＝0，FD→＋DE→＋AD→＝FE→＋AD→＝AD→＋DB→＝AB→，AD→＋EC→＋FD→＝AD→＋0＝AD→＝DB→≠BD→.①②③3.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB→＋AC→＝AP→＋AQ→.证明∵AP→＝AB→＋BP→，AQ→＝AC→＋CQ→，∴AP→＋AQ→＝AB→＋AC→＋BP→＋CQ→.又∵BP＝QC且BP→与CQ→方向相反，∴BP→＋CQ→＝0，∴AP→＋AQ→＝AB→＋AC→，即AB→＋AC→＝AP→＋AQ→.4.如图所示，在四边形ABCD中，AC→＝AB→＋AD→，试判断四边形的形状．解∵AC→＝AB→＋AD→，∴DC→＝DA→＋AC→＝DA→＋AB→＋AD→＝DA→＋AD→＋AB→＝AB→，即DC→＝AB→.∴四边形ABCD为平行四边形．1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．2.2.2向量的减法【学习要求】1．理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则．2．掌握向量减法的几何意义．3．能熟练地进行向量的加、减运算．【学法指导】1．关于向量的减法，在向量代数中，常有两种理解方法：第一种方法：是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是说，如果b＋x＝a，则x叫做a与b的差，记作a－b，这样，作a－b时，可先在平面内任取一点O，再作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.(如图(1))第二种方法：是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知a，b，定义a－b＝a＋(－b)，在这种定义下，作a－b时，可先在平面内任取一点O，作OB＝－b，OA＝a，则由向量加法的平行四边形法则知OC＝a＋(－b)，由于a＋(－b)＝a－b，即OC＝a－b.(如图(2))2．关于“差向量”方向的确定，通常归纳为“指向被减向量”，这个结论成立的前提是两个“作差向量”共起点，因此几何法确定差向量的方向有两个关注点：(1)共起点；(2)指被减.1．我们把与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作，并且有a＋(－a)＝.2．向量减法的定义若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的，记为，求两个向量差的运算，叫做．－a0差a－b向量的减法3．向量减法的平行四边形法则以向量AB＝a，AD＝b为邻边作，则对角线的向量BD＝b－a，DB＝a－b.4．向量减法的三角形法则在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b，即a－b表示从向量的终点指向向量的终点的向量.平行四边形ABCDba探究点一向量的减法对照实数的减法，类比向量的减法，完成下表：对比项实数的减法向量的减法(1)相反数绝对值相等，符号相反的两个数，互为相反数(1)相反向量的两个向量，互为相反向量(2)零的相反数是零(2)(3)互为相反数的和是零(3)对比内容(4)实数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数(4)向量的减法：减去一个向量相当于长度相等，方向相反零向量的相反向量仍是零向量两个相反向量的和是零向量加上这个向量的相反向量根据相反向量的含义，完成下列结论：(1)－AB→＝；(2)－(－a)＝；(3)－0＝；(4)a＋(－a)＝；(5)若a与b互为相反向量，则有：a＝，b＝，a＋b＝.BA→a00－b－a0探究点二向量减法的三角形法则(1)由于a－b＝a＋(－b)．因此要作出a与b的差向量a－b，可以转化为作a与－b的和向量．已知向量a，b如图所示，请你利用平行四边形法则作出差向量a－b.解利用平行四边形法则．在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，作OC→＝－b，以OA→，O