向量组的线性表示与线性相关性

线性代数第四章向量组的线性相关性1教学目的掌握向量的概念，掌握向量组线性表示向量（组）的判定方法，会用初等变换求解向量的线性表达式。掌握线性相关性的概念和基本判定方法。作业重点向量组的线性表示、相关性及判定方法练习册难点向量组线性表示方法讲授方法讲授讲授内容主线向量定义-分类—线性组合—线性表示及秩的判断定理和推论—练习—向量组线性表示及等价和秩的判断方法—向量组线性相关定义－判定方法时间安排向量向量组的线性表示通过解析成矩阵方程组,可用秩的判定方法来判定和求解线性表示系数。线性相关性则是通过等价定义的齐次方程组来判定.班级：星期：节年月日第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数第四章向量组的线性相关性2友情提示本次课讲第四章第一二节：向量组的线性表示与线性相关性；下一次课讲第四章第二节（续）与第三节：相关性与向量组的秩；下次上课时交作业P25－P26线性代数第四章向量组的线性相关性3的变量个数为注意：有无穷多解。有唯一解；有解无解；有非零解。有唯一零解；XnrBARBARARBARARBARXAnARnAnARnAR0X),(),(,,ARnmnmBBAXbbbXXXAbAXmm即：数方程组的结论推广到多个同系将复习方程组秩的解法：),,,(),,,(2121第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数第四章向量组的线性相关性4一、向量组及其相关概念1.向量:(1)向量的定义个分量是第因此个数称为向量的分量维向量所组成的数组称为个有次序的数iannaaanin,;,,,21(2)向量与矩阵n维向量可写成一行—行向量；也称行矩阵；也可写成一列—列向量，也称列矩阵总被看成是不同的向量维列向量与维行向量并且nnaaanaaan2,121),,(因此规定：行向量和列向量都按矩阵的规则进行运算（3）向量的记法：1）列向量用用字母表示；、、、ba行向量用、、TTba表示.TT、第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数第四章向量组的线性相关性52.向量组的概念（1）向量组的定义：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合：mnmmnnaaaaaaaaa212222111211A如矩阵：有n个m维列向量,21mjjjaaanj,,2,1ja（2）所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量T120112013＝＝如：量的转置的形式，也将列向量写成行向）经常地，为书写方便（第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数第四章向量组的线性相关性6（2）矩阵与向量组：由m个n维行向量所组成的向量组构成一个m×n矩阵TmTT,,,21.21TmTTB因此，矩阵与它所对应的行（列）向量组有一一对应的关系，向量组称矩阵的向量组，矩阵称向量组的矩阵的行向量组称为矩阵的行向量组同理，组成矩阵AATmTT,,,21naaa,,,21矩阵A组成的向量组称为矩阵A的列向量组；反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.由m个n维列向量所组成的向量组构成一个n×m矩阵maaa,,,21;,,,21maaaA第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数第四章向量组的线性相关性73.线性组合的概念：定义2给定向量组A：，maaa,,,21对于任何一组实数,,,,21mkkk向量mmakakak2211称为向量组A的一个线性组合，mkkk,,,21称为这个线性组合的系数.4.线性表示的概念：给定向量组A：和向量，maaa,,,21b如果存在一组数,,,,21m使,2211mmaaab则向量是向量组A的线性组合，b这时称向量能由向量组A线性表示。b线性表示的关键是线性表示系数的存在与求解第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数第四章向量组的线性相关性8,01020011021即向量能由向量组线性表示.021010001,例如：5.向量组由向量组线性表示概念定义3设有两个向量组A：及B：，maaa,,,2112,,,lbbb则称向量组B能由向量组A线性表示。6.向量组的等价：向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。这是第二次遇到等价概念：一个是矩阵间互相初等变换的等价；这里是向量组间间互相线性表示的等价若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，B第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数第四章向量组的线性相关性97.向量组的线性相关概念(1)定义给定向量组A：，maaa,,,21如果存在不全为零的数,,,,21mkkk使021maaamkkk21则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关“否则”只有当021mkkk时，式才成立。或若向量组A：，maaa,,,21线性无关，且式成立，则必有.021mkkk第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性相关。，，，证明向量组：设例43212112112112113,,,,)1(P31T0144332214321）＋（）＋（）＋（）＋（＝＋－证明：由定义，线性代数第四章向量组的线性相关性10二、用方程组判断和求解向量组的线性表示的系数),,,,(,,,);()(2121baaaRaaaRBRARmm或即：向量能由向量组A线性表示，b也就是方程组有解baaam21mxxx21证：maaa,,,21mxxx21b将方程组变形为：第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性相关。－使得存在43214321,,,0,1,1,1,1线性代数第四章向量组的线性相关性11为线性表示系数其中解的解的问题，为方程组：即线性表示问题恒变形TmxxxXBAX),,(21式无穷多。一，有无穷解，则表示有唯一解，则表示式唯来求线性表示系数。）可以用方程组（来线性表示。能否由来判断）可以用秩（定理告诉我们，bAXaaabbaaaRaaaRmmm2,,,),,,,(,,,1212121第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数第四章向量组的线性相关性12（1）秩的等式定理2:的秩等于矩阵向量组:能由向量组:线性表示的充分必要条件是矩阵BmaaaA,,,2112ma,a,,a12lb,b,,bA的秩.()()RA=RA,B即:2.用方程组判定与求解向量组间的线性表示系数.设向量组A与向量组B所构成的矩阵依次记作sbbbB,,,21和maaaA,,,21B组能由A组线性表示，即对每个向量jb,,,2,1sj:,,,,21使得存在mjjjxxx,),,,(21212211mjjjmmmjjjjxxxaaaaxaxaxb,,,2,1sj第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数第四章向量组的线性相关性13BAXbbbBXXXXbbbAXAXAXbAXbAXbAXAsssssss:),,,,(),,,,(),,,,(),,,(:,,,,,212121212211矩阵方程组则上式成令即写成矩阵形式的方程组个同系数这是.),,,(:.21个向量线性表示的系数组个向量用组为的列向量分别其中的解的判定与求解问题阵方程组线性表示问题变成了矩由向量组向量组mAsBXXXXBAXABs有解无解是否有解线性表示由向量组向量组),,()(),,()(BARARBARARBAXAB系数解的列向量即线性表示用初等行变换解出有解时),,,,(,21sXXXX第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数第四章向量组的线性相关性14特别提示：定理所涉及的向量组均是列向量组，方程组的解也是列向量表示，“行变换、列向量”一定要记牢(2)两个推论。由以上定理，不难推出以下结论)()(),(),(),()(2BRARBRBARBARAR故由秩的不等式知，知：分析：由定理),,,()(),,,()(:,,,,:,,,::21212121smmsbbbRBRaaaRARaaaAbbbB则线性表示能由向量组若向量不等式推论),()()(,,,:,,,:2121BARBRARbbbBaaaAlm：等价的充分必要条件是与组向量组等价结论：向量分析：由定理2和向量组等价定义易推出结论成立第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数第四章向量组的线性相关性15（4）线性表示秩的解法的概括：)()()(),()()(),()(BRARARBARBRXABXABBRBARARXBAXBABA为表示系数解有解线性表示为表示系数解有解线性表示等价、例2：设向量组111,22a212,13a311,40a10,31b证明:能由向量组线性表示,并求出表达式.123,,aaab第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数第四章向量组的线性相关性16证：10320121000000001111121021432301B～R(A)=R(B)=2,因能由向量组线性表示.123,,aaab所以cccxxxcxxxxx1223,,122332133231得通解为：令解方程组：(其中C可取任意值)123(32)(21).bcacaca112323(,,)xbaaaxx第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数第四章向量组的线性相关性17)(),(,)(),(,),min(),,,,(),(),,,()(0212121ARnBARnARBARnsnnRBARnRARAAsnn且：，，，又满秩，即：，证明：线性表示能由，，，证明：若，，，：组成，向量组个向量由维向量组：设例nssnABnAn,,,,0.,,,221212121线性表示能由，，，要条件，由向量组线性表示的充ns,,,2121第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数第四章向量组的线性相关性18第八讲：向量组的线性表示与线性相关性例3（05，2，9分）线性表示，，不能由向量组，，线性表示，但向量组可由向量组使向量组确定常数3213213213212,42,11:11,11,11:,TTTTTTaaaaBaaaAa作初等行变换故首先对增广矩阵即无解即线性表示不能由向量组同理即有解即线性表示能由向量组分析),(),()(,,:).,()(,:,:ABBARARBAXABABRBRABXBA211034201102201122111411111221aaaaaaaaaaaaaaaa线性代数第四章向量组的线性相关性192)1(33040011022011221aaaaaaaa线性表示。，，可由，，即，方程组有解，时，可见，