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1.设u=a-b+2c,v=-a+3b-c.试用a,b,c表示2u-3v.解2u-3v=2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)=5a-11b+7c.2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明它是平行四边形.证如图8-1,设四边形ABCD中AC与BD交于M,已知AM=MC,MBDM.故DCDMMCMBAMAB.即DCAB//且|AB|=|DC|,因此四边形ABCD是平行四边形.3.把△ABC的BC边五等分,设分点依次为D1,D2,D3,D4,再把各分点与点A连接.试以AB=c,BC=a表向量AD1,AD2,AD3,AD4.证如图8-2,根据题意知511BDa,5121DDa,5132DDa,5143DDa,故AD1=-(1BDAB)=-51a-cAD2=-(2BDAB)=-52a-cAD3=-(3BDAB)=-53a-cAD4=-(4BDAB)=-54a-c.4.已知两点M1(0,1,2)和M2(1,-1,0).试用坐标表示式表示向量21MM及-221MM.解21MM=(1-0,-1-1,0-2)=(1,-2,-2).-221MM=-2(1,-2,-2)=(-2,4,4).5.求平行于向量a=(6,7,-6)的单位向量.解向量a的单位向量为aa,故平行向量a的单位向量为aa=111(6,7,-6)=116,117,116,其中11)6(76222a.6.在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限?A(1,-2,3),B(2,3,-4),C(2,-3,-4),D(-2,-3,1).解A点在第四卦限,B点在第五卦限,C点在第八卦限,D点在第三卦限.7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征?指出下列各点的位置:A(3,4,0),B(0,4,3),C(3,0,0),D(0,-1,0).解在坐标面上的点的坐标,其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零,比如xOy面上的点的坐标为(x0,y0,0),xOz面上的点的坐标为(x0,0,z0),yOz面上的点的坐标为(0,y0,z0).在坐标轴上的点的坐标,其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零,比如x轴上的点的坐标为(x0,0,0),y轴上的点的坐标为(0,y0,0),z轴上的点的坐标为(0,0,z0).A点在xOy面上,B点在yOz面上,C点在x轴上,D点在y轴上.8.求点(a,b,c)关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标.解(1)点(a,b,c)关于xOy面的对称点(a,b,-c),为关于yOz面的对称点为(-a,b,c),关于zOx面的对称点为(a,-b,c).(2)点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c),关于y轴的对称点为(-a,b,-c),关于z轴的对称点为(-a,-b,c).(3)点(a,b,c)关于坐标原点的对称点是(-a,-b,-c).9.自点P0),,(000zyx分别作各坐标面和各坐标轴的垂线,写出各垂足的坐标.解设空间直角坐标系如图8-3,根据题意,P0F为点P0关于xOz面的垂线,垂足F坐标为),,000(zx;P0D为点P0关于xOy面的垂线,垂足D坐标为),,0(00yx;P0E为点P0关于yOz面的垂线,垂足E坐标为)0(0ozy,,.P0A为点P0关于x轴的垂线,垂足A坐标为),0,0(ox;P0B为点P0关于y轴的垂线,垂足B坐标为)0,,0(0y;P0C为点P0关于z轴的垂线,垂足C坐标为),0,0(0z.10.过点P0),,(000zyx分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面,问在它们上面的点的坐标各有什么特点?解如图8-4,过P0且平行于z轴的直线l上的点的坐标,其特点是,它们的横坐标均相同,纵坐标也均相同.而过点P0且平行于xOy面的平面上的点的坐标,其特点是,它们的竖坐标均相同.11.一边长为a的正方体放置在xOy面上,其底面的中心在坐标原点,底面的顶点在x轴和y轴上,求它各顶点的坐标.解如图8-5,已知AB=a,故OA=OB=a22,于是各顶点的坐标分别为A)0022(,,a,B(),022,0(a),C(-a22,0,0),D(0,-a22,0),E(a22,0,a),F(0,a22,a),G(-a22,0,a),H(0,-a22,a).12.求点M(4,-3,5)到各坐标轴的距离.解点M到x轴的距离为d1=345)3(22,点M到y轴的距离为d2=415422,点M到z轴的距离为d3=525)3(422.13.在yOz面上,求与三点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1)等距离的点.解所求点在yOz面上,不妨设为P(0,y,z),点P与三点A,B,C等距离,,)2()1(3222zyPA,)2()2(4222zyPB.)1()5(22zyPC由PCPBPA知,222222)2()2(4)2()1(3zyzy22)1()5(zy,即.)1()5()2()1(9,)2()2(16)2()1(922222222zyzyzyzy解上述方程组,得y=1,z=-2.故所求点坐标为(0,1,-2).14.试证明以三点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.证由2798)63()14()102(,7)93()14()42(,7)96()11()410(222222222BCACAB知.222ACABBCACAB及故△ABC为等腰直角三角形.15.设已知两点为M1(4,2,1),M2(3,0,2),计算向量21MM的模、方向余弦和方向角.解向量21MM=(3-4,0-2,2-1)=(-1,-2,-1),其模2412-1-22221)()(MM.其方向余弦分别为cos=-21,cos=-22,cos=21.方向角分别为3,43,32.16.设向量的方向余弦分别满足(1)cos=0;(2)cos=1;(3)cos=cos=0,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何?解(1)由cos=0得知2,故向量与x轴垂直,平行于yOz面.(2)由cos=1得知=0,故向量与y轴同向,垂直于xOz面.(3)由cos=cos=0知2,故向量垂直于x轴和y轴,即与z轴平行,垂直于xOy面.17.设向量r的模是4,它与u轴的夹角为3,求r在u轴上的投影.解已知|r|=4,则Prjur=|r|cos=4∙cos3=4×21=2.18.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,-4和7,求这向量的起点A的坐标.解设A点坐标为(x,y,z),则AB=(2-x,-1-y,7-z),由题意知2-x=4,-1-y=-4,7-z=7,故x=-2,y=3,z=0,因此A点坐标为(-2,-3,0).19.设m=3i+4j+8k,n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k.求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解a=4m+3n-p=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k,a在x轴上的投影为13,在y轴上的分向量为7j.1.设kjibkjia2,23,求(1)baba及;(2)ba2b3a2-及)(;(3)ba,的夹角的余弦.解(1)),(),,(1-2,12-1-3ba,)()()(31-2-21-13ba121213kji=(5,1,7).(2)1836)(63)2(baba)14,2,10()7,1,5(2)(22baba(3222222)1(21)2()1(33),cos(bababa212361432.设cba,,为单位向量,满足.,0accbbacba求解已知,0,1cbacba故0)()(cbacba.即0222222accbbacba.因此23-21222)(cbaaccbba3.已知M1(1,-1,2),M2(3,3,1)M3(3,1,3).求与3221,MMMM同时垂直的单位向量.解21MM=(3-1,3-(-1),1-2)=(2,4,-1)32MM=(3-3,1-3,3-1)=(0,-2,2)由于3221MMMM与3221,MMMM同时垂直,故所求向量可取为32213221MMMMMMMMa)(,由3221MMMM=220142kji=(6,-4,-4),17268)4()4(62223221MMMM知).172,172,173()4,4,6(1721a4.设质量为100kg的物体从点M1(3,1,8)沿直线移动到点M2(1,4,2),计算重力所作的功(坐标系长度单位为m,重力方向为z轴负方向).解21MM=(1-3,4-1,2-8)=(-2,3,-6)F=(0,0,-100×9.8)=(0,0,-980)W=F∙21MM=(0,0,-980)∙(-2,3,-6)=5880(J).5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处,有一与1OP成角1的力F1作用着;在O的另一侧与点O的距离为x2的点P2处,有一与2OP成角2的力F2作用着(图8-6),问1,2,x1,x2,21,FF符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡?解如图8-6,已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零,又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为0sinsin222111xFxF,即222111sinsinxFxF.6.求向量),(4,3-4a在向量)(1,2,2b上的投影.解236122)1,2,2()4,3,4(Pr222bbaajb.7.设)4,1,2(),2,5,3(ba,问与有怎样的关系,能使ba与z轴垂直?解ba=(3,5,-2)+(2,1,4)=(42,5,23).要ba与z轴垂直,即要(ba)(0,0,1),即(ba)∙(0,0,1)=0,亦即(42,5,23)∙(0,0,1)=0,故(42)=0,因此2时能使ba与z轴垂直.8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证如图8-7,设AB是圆O的直径,C点在圆周上,要证∠ACB=2,只要证明0BCAC即可.由BCAC=)()(OCBOOCAO=2OCBOOCOCAOBOAO=022OCOCAOOCAOAO.故BCAC,∠ACB为直角.9.已知向量jickjibkjia23,32和,计算:(1)bcacba)()((2))()(cbba(3)cba)(解(1)8)3,1,1()1,3,2(ba,8)0,2,1()1,3,2(ca,bcacba)()()24,8,0()3,1,1(8)0,2,1(8ki248.(2)ba=(2,-3,1)+(1,-1,3)=(3,-4,4),cb=(1,-1,3)+(1,-2,0)=(2,-3,3),)()(cbba332443kjikj)1,1,0(.(3)cba)(.202131113210.已知kjOBkiOA3,3,求△OAB的面积.解由向量积的几何意义知S△OAB=OBOA21,)1,3,3(310301kjiOBOA,OBOA191)3()3(22S△OAB21911.已知),,()
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