参数方程与普通方程的互化

一、曲线的参数方程在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程f(x,y)＝0。下面我们就来研究求曲线参数方程的问题。3、参数方程和普通方程的互化cos3,()sinxMy由参数方程为参数直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM由参数方程得：所以点的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系那么就是曲线的参数方程。tfxtgytgytfx参数方程和普通方程的互化：（1）普通方程化为参数方程需要引入参数如：①直线L的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程.22,tytx（t为参数）②在普通方程xy=1中，令x=tan,可以化为参数方程.cot,tanyx（为参数）（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程如：①参数方程.sin,cosrbyrax消去参数可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2..42,tytx②参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4通过代入消元法消去参数t,（x≥0）注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？1()12tytx=t(1)为参数sincos().1sin2yx=(2)为参数（2）把平方后减去得到因为所以因此，与参数方程等价的普通方程是这是抛物线的一部分。(1)11231)11xtyx解：因为所以普通方程是（x这是以（，）为端点的一条射线（包括端点）1xt所以代入ty21cossinxsin21yyx24sin2cossinx2,2x2,2xyx2练习、1.将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步骤：（1）消参；（2）求定义域。2.求参数方程)20()sin1(21|,2sin2cos|yx表示（）（A）双曲线的一支，这支过点（1，21）：（B）抛物线的一部分，这部分过（211，）；（C）双曲线的一支，这支过点（–1，21）；（D）抛物线的一部分，这部分过（–1，21）分析一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解∵x2=2)2sin2(cos=1+sin=2y，普通方程是x2=2y，为抛物线。)42sin(2|2sin2cos|x∵，又02，0x2，故应选（B）说明这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。例4(1)设x=3cos，为参数；2.tt(2)设y=，为参数22194xy求椭圆的参数方程。解（1）把带入椭圆方程，得到于是由参数的任意性，可取因此椭圆的参数方程为（为参数）1499cos22y3cosxsin2sin4cos14222yysin2y,sin2cos3yx思考：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？2222213,191449txtxtx因此椭圆的参数方程为,2132tytxtytx2132（t为参数）和（2）把ty2代入椭圆方程，得x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，2tytx代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.2224sinABCDsinxtxtxtxtytytytyt、、、、曲线y=x2的一种参数方程是（）.注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.在y=x2中，x∈R,y≥0，分析:发生了变化，因而与y=x2不等价；在A、B、C中，x,y的范围都而在Ｄ中，且以练习:普通方程参数方程引入参数消去参数小结