小学数学思想方法

小学数学思想方法选讲一、什么是数学思想方法？所谓的数学思想，是指人们对数学理论与数学内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法有时很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。二、小学为什么要渗透数学思想方法？《数学课程标准》明确提出数学的学习目标是：“学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必需的应用技能。”在小学阶段有意识地让学生感悟一些基本的数学思想方法可以加深对数学概念、公式、法则、定理的理解，提高学生解决问题的能力和思维能力，也是小学数学进行素质教育的真正内涵之所在；同时也能为初中数学思想方法的学习打下较好的基础。三、在小学阶段，数学思想方法主要有小学阶段数学思想方法主要有：抽象、模型、推理（合情推理、演绎推理）抽象（分类思想、符号化思想、数形结合思想、集合思想、守恒思想、对称思想、极限思想）合情推理（转化思想、联想类比思想、归纳思想、特殊与一般思想）；演绎推理（演绎推理思想、变换思想、公理化思想、等量代换思想）模型思想（简化思想、量化思想、方程思想、函数思想、优化思想、统计概率思想）（一）感悟符号化思想数学符号是数学的语言，数学世界是符号化的世界，数学作为人们进行表示数量关系，计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才能使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学普及和发展。符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。1、符号化思想的概念：（一）感悟符号化思想2、符号在小学数学教材中渗透知识领域知识点具体应用应用拓展数与代数数的表示阿拉伯数字：0-9中文数字：一至十百分号：%千分号：‰负号：-用数轴表示数数的运算+、－、×、÷、（）、[]、平方、立方大括号：{}数的大小=、≈、﹥、﹤≦、≧、≠运算定律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：（ab）c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+aca(b-c)=ab-ac（一）感悟符号化思想2、符号在小学数学教材中渗透知识领域知识点具体应用应用拓展空间与图形用字母表示计量单位长度单位：km、m、dm、cm、mm面积单位：km2m2dm2cm2体积单位：m3、dm3、cm3容积单位：l、ml质量单位：t、kg、g用符号表示图形用字母表示点、三角形ABC用符号表示角△ABC线段AB射线C直线L两线段平行：AB//CD两线段垂直：AB⊥CD□ABCD2、符号在小学数学教材中渗透知识领域知识点具体应用应用拓展用字母表示公式三角形面积：s=1/2ah平等四边形面积：s=ah长方形面积：s=ab正方形面积：s=a2长方形周长：c=2(a+b)正方形周长：c=4a梯形面积：1/2(a+b)h圆周长：c=2∏r圆面积：s=∏r2长方体体积：v=abh正方体体积：v=a3圆柱体体积：v=sh圆锥体体积：v=1/3sh统计与概率统计图和统计表描述分析各种信息可能性用分数表示可能性的大小（一）、感悟符号化思想3、符号化思想在教学中感悟和运用。（1）能从具体的情境中引导学生逐步抽象数量关系和变化规律，并能用符号来表示。（2）培养学生理解并自觉运用符号表示数量关系和变化规律。（3）培养学生进行符号间的转换。（4）指导能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。（二）、感悟“转化”数学思想1、转化思想的概念人们面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它化为能够解决或比较容易解决的问题，最终使得问题得到解决，这种思想方法称为转化思想。2、转化思想所遵循的原则（1）数学化原则（2）熟悉化原则（3）简单化原则（4）直观化原则3、转化思想在小学数学教学中的应用知识领域知识点应用举例数的意义整数的意义：用实物操作和直观图形帮助理解小数的意义：用直观图和人民币分数的意义：用直观图来帮助学生理解负数的意义：用数轴和温度计来直观四则运算的意义加法的意义：实物和直观图形帮助理解合并意义减法的意义：加法的逆运算（或直观认识）乘法的意义：由同数连加算式转化而来除法的意义：乘法的逆运算四则运算的法则整数加减法：用实物操作和直观图理解算法小数加减法：小数点对齐，然后按照整数方法计算小数乘法：先按整数乘法的方法计算，再点小数点小数除法：先把除法转化为整数，按照整数除法的法则进行计算。异分母公数加减法：转化为同分母数加减法计算3、转化思想在小学数学教学中的应用渗透知识领域知识点应用举例四则运算的法则分数乘整数：转化为同数连加分数乘分数：用直观图帮助理解分数除法：转化为分数乘法四则运算部分之间的关系a+b=c,c-a=b;ab=c,c÷a=b.简便计算运用运算定律和性质转化成能凑整的形式来计算方程解方程：解方程的过程就是不断把未知数前的系数转化为“1”的过程用方程解决问题：把复杂题意转化为简单的等量关系（数学模型）过程解决问题的策略化繁为简，植树问题，烙饼，鸡兔同笼等化抽象为直观，用线段图、图表、图象等直观表示数量之间的关系，帮助推理化实际问题为数学问题；简单应用题的两个转化,化一般问题为特殊问题化未知为已知化新问题为旧问题3、转化思想在小学数学教学中的应用渗透知识领域知识点应用举例三角形内角和通过剪、拼.折等操作活动转化为平角多边形的内角和通过分割转化为若干个三角形的内角和面积公式把正方形面积转化为长方形求面积平行四边形面积转化成长方形求面积三角形面积转化为平行四边形的面积梯形面积转化为平行四边形、三角形、长方形求面积圆的面积转化为近似长方形、平行四边形等求面积组合图形的面积转化为基本图形的面积体积公式正方体的体积转化为长方体的体积圆椎的体积转化为近似长方体的体积圆锥的体积转化为圆柱石体积横截面是梯形大体积转化为长方体的体积统计表和统计图应用不同的统计图表描述各种数据并相互转化可能性应用不同的方式表示可能性的大小（二）感悟“转化”数学思想4、解决问题中的转化策略在教学中的应用（1）化抽象问题为直观问题（2）化繁为简（化大为小）（3）化实际问题为特殊的数学问题（4）化未知问题为已知问题（5）化一般问题为特殊问题（三）、感悟模型思想数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表程序等都是数学模型。1、模型思想的概念2、模型思想的重要意义《新课标》修改稿，明确提出“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程，不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。这不仅表明了数学的应用价值，同时明确建立模型是数学应用和解决问题的核心。3、模型思想的具体感悟知识领域知识点应用举例数与代数数的表示自然数列：0、1、2、3…….用数轴表示数数的运算a+b=cc-a=bc-b=aa×b=c(a≠0、b≠0)c÷a=bc÷b=a运算定律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：abc=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc运算性质减法性质：a-b-c=a-(b+c)除法性质：a÷b÷c=a÷(bc)方程ax±b=cax+bx+c=d数量关系时间、速度和路程：s=rt数量、单价和总价：a=np3、模型思想的具体感悟知识领域知识点应用举例数与代数数量关系时间、速度和路程：s=rt数量、单价和总价：a=np正比例关系：y/x=k反比例关系：xy=k用表格表示数量关系用图像表示数量关系空间与图形用字母表示公式长方形面积：s=ab长方形周长：c=2(a+b)三角形面积：s=1/2ah平行四边形面积：s=ah梯形面积：s=1/2(a+b)h正方形面积：s=a2周长：c=4a圆面积：s=∏r2圆周长：c=2∏r长方体体积v=abh正方体体积：v=a3圆椎体体积：v=sh圆锥体体积：v=1/3sh用统计图表描述和分析各信息用分数表示可能性的大小（三）感悟模型思想4、模型思想的教学1、注重感悟模型思想。2、教会学生如何建立数学模型，并喜欢数学。（1）学生学习数学模型大概有两种情况：①基本模型的学习，即学习教材中的例题为代表的新知识，这个学习过程可能是一个探索的过程，也可能是一个接受学习的理解过程。②是利用基本模型去解决各种问题，即利用学到的基本知识解决教材中丰富多彩的习题以及教师有意识设计各种课内外问题。（2）数学建模是一个比较复杂和富有挑战性过程，大致经历以下几个步骤：①理解问题的实际背景，明确要解决什么问题，属于什么模型系统。②把复杂的事情经过分析和简化，确定必要的数据。③建立模型，可以是数量多少，还可以是图表形式。④解答问题。注意两点：（四）感悟推理思想1、推理思想的概念推理是从一个或几个已有的判断得出另一个判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的结论推出特殊性结论的推理。①三段论②选言推理③假言推理④关系推理合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。①归纳推理②类比推理（四）感悟推理思想我国传统小学数学教育的主要优势在于重视培养学生的运算能力、推理能力和空间想象能力，比较强调逻辑推理而忽视了合情推理。但《新课程》过于强调合情推理，在逻辑推理方面有所淡化。实践证明两者不可偏废。《新课标（试行稿）》明确推理的范围及作用“推理能力的发展应贯彻于整个教学过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论，演绎推理用于证明结论的正确性。2、推理思想的重要意义3、推理思想在小学教材中的感悟思想方法知识点应用举例不完全归纳法找规律找数列和图形的推理规律整数计算四则计算法则的总结（也有类比）运算定律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：（ab）c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac运算性质减法性质：a-b-c=a-(b+c)除法性质：a÷b÷c=a÷(b×c)除法商不变的性质：分数分数的基本性质面积长方形面积公式的推理体积长方体体积公式的推理完全归纳法三角形三角形内角和的推导3、推理思想在小学教材中的感悟思想方法知识点应用举例类比推理读数、写法亿以内数的读写与万以内数读写相类比整数的运算四则计算法则：多位数加减法与两位数加减法相比较；除数是多位数除法与除数是一位数除法相类比小数的运算将整数的运算法则顺序、定律推广到小数分数的运算将整数的运算顺序和运算定律推广分数除法、分数和比除法商不变性质，分数的基本性质，比的基本性质面积与平行四边形面积公式的推导方法相类比、三角形、梯形和圆面积公式。同时也用转化思想。长度、面积、体积线、面、体之间的类比：线段有长度，用长度单位来计量；平面图形有大小，用面积单位来计量；立体图形占空间大小用体积单位来计量。解决问题数量关系相近的实际问题相类比，如分数实际问题与百分数问题。鸡兔同笼不同的素材的鸡兔同笼相类比抽屉原理不同素材抽屉原理问题相比较牛吃草、替换、盈亏