第二节 复化求积公式和龙贝格求积公式

第三节复化求积公式将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上采用低阶的牛顿-柯特斯公式。然后将所有小区间的计算结果加起来。[,]ab一、复化梯形公式：将积分区间n等分：[,]ab分点,kbaxakhhn在区间上采用梯形公式1011[,](,,,)kkxxkn110()()()kknbxaxkIffxdxfxdx112()(()()),kkxkkkxhIfxdxfxfx1102()()nkkkhfxfx复化梯形公式1122()()()()nnkkhTffafxfb复化梯形公式的几何意义小梯形面积之和近似()yfx复化梯形公式的余项设2()[,]fxCab212()()()nnbaRfITfhf，则余项估计式为：的误差是二阶的。由上式可知，误差与同阶，此时称复化梯形公式2h误差的阶数越高，精度越好！二、复化辛蒲生公式：分点,kbaxakhhn在区间上采用辛蒲生公式1011[,](,,,)kkxxkn()()baIffxdx110()kknxxkfxdx1110246()()()nkkkkhfxfxfx其中122()()kkhfxfx将积分区间n等分：[,]ab111246()(()()()),kkxkkkxkhIfxdxfxfxfx复化辛蒲生公式111012426()()()()()nnnkkkkhSffafxfxfb复化辛蒲生公式的几何意义小抛物面积之和近似()yfx复化辛蒲生公式的余项设4()()[,]fxCab441802()()()()nnbahRfISff，则有余项估计式复化辛蒲生公式中“半点”的处理可将整个区间等分成偶数个小区间，每两个小区间合并起来视为复化辛蒲生公式中的一个小区间。111100427321290()()()()nnnkkkkhCffafxfx1130143214()()()nnkkkkfxfxfb类似地，可以得到复化柯特斯公式它的余项为6629454()()()()(),(,)nnbahRfICffab例2：将[0,1]区间八等分，根据如下函数值表，利用复化梯形公式、复化辛蒲生公式计算积分的近似值。10sinxIdxx01/81/43/810.9973980.9896880.9767271/25/86/87/810.9588510.9361560.9088580.8771930.841471ix()ifx解：分别采用复化辛蒲生公式、复化梯形公式复化梯形公式1122()()()()nnkkhTffafxfb复化辛蒲生公式111012426()()()()()nnnkkkkhSffafxfxfb复化梯形公式(n=8)，复化辛蒲生公式(n=4)，811130228848153712848()()()()()()()()()()Tffffffffff18h0945692.4113570464888811321424()()()()()()()()()()Sffffffffff09460832.14h0946083070367.（1）使用复化梯形公式、辛蒲生公式，首先要确定步长；h（2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计；（3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；（4）计算机上实现起来不方便，通常采用“事后估计法”。三、积分步长的自动选取：注意事项：基本思想：将积分区间逐次分半，比较前后两次的近似值终止法则：前后两次近似值的误差小于已知精度2nnII具体过程（以复化梯形公式为例）1、首先将区间n等分：[,]abbahn1122()()()nnkkhTfafxfb2、再将区间2n等分，即步长减半：[,]ab12hh11121102222()()()()nnnkkkkhTfafxfxfb1102122()nnkkhTfx122()()kkhfxfx上述条件满足，程序终止；否则，继续分半计算。3、终止条件：由复化梯形公式的余项知2112()()nbabaITfn222122()()nbabaITfn24nnITIT()fx变化不大时由此得到近似关系式22141()nnnITTT误差控制条件2141()nnTT例3：根据如下函数值表，利用复化梯形公式计算积分的近似值，要求误差不超过。10sinxIdxx01/81/43/810.9973980.9896880.9767271/25/86/87/810.9588510.9361560.9088580.8771930.841471ix()ifx解：先在整个区间上用梯形公式60510.11001092073562(()())..Tff然后将区间二等分，利用递推公式求出2111109397933222()..TTf12102122(),nnnkkhbaTTfxhn递推公式进一步二分积分区间，类似可求出421113094451532444[()()].TTff如此不断二分并利用递推公式，可得下表中的结果2knk表示二分次数，区间数knTknT1234567890.93979330.94451350.94569090.94598500.94605960.94607690.94608150.94608270.9460830由表中可以看出，对分8次和对分7次之间的差8762210000000405103()..TT因而是满足精度要求的解。8209460827.T误差控制条件2141()nnTT收敛速度慢对于复化辛蒲生公式、柯特斯公式可以类似得到222141()nnnISSS223141()nnnICCC不足加速收敛22141()nnnITTT222141()nnnISSS223141()nnnICCC应用步长逐次减半得到的复化梯形值、复化辛蒲生值、复化柯特斯值与精确值的比较nSnCnR第四节龙贝格求积公式龙贝格积分思想由上节分析知，用复化梯形公式计算积分值I2nT的误差大约为：213()nnTT令2213()nnnITTT243nnTT由复化梯形公式知12102122()nnnkkbaTTfxn12102412333()()nnnnkkTTbaTfxn1122()()()nnkkbaTfafxfbn11102246()()()()nnkkkkbafafxfxfbnnS111012426()()()()()nnnkkkkhSffafxfxfb梯形公式的加速方法：2244134141nnnnnTTSTT利用复化梯形公式前后两次的积分近似值和，2nTnT按照上式作出的线性组合是具有更高精度的积分值。龙贝格积分公式正是由此产生！上述公式说明：龙贝格值序列辛蒲生加速公式：222441nnSS柯特斯加速公式：323441nnnCCR类似于梯形加速公式的处理方法，得到：222141()nnnISSS222441nnnSSC223141()nnnICCC323441nnCC柯特斯值序列上述用若干个积分近似值算出更精确的积分近似值的方法，称之为外推法。4个积分值序列：2kT梯形值序列辛蒲生值序列龙贝格值序列柯特斯值序列2kS2kC2kR1222441kkkTTS122222441kkkSSC132232441kkkCCR外推法的计算步骤1T2T4T8T16T1S2S4S8S1C2C4C1R2R32T16S12102122()nnnkkbaTTfxn8C4R例3：利用龙贝格积分法式计算积分要求精确到小数点后面7位。15011.Idxx解：11()fxx1150151052.[()(.)].Tff根据龙贝格积分法计算得2111507509535714292[.(.)].TTf211409214285713.TTS421075075112509259835752{.[(.)(.)]}.TTff422409167876243.TTS21116091647822815.SSC具体结果见下表105.2kT2kS2kC2kRk021340953571429.0921428571.0925983575.0918741799.0916905342.0916787624.0916327874.0916293190.0916478228.0916297224.0916290077.0916294351.0916290776.精确值为0.91629073187415506518352721176801